优化问题数值方法 第 4 章 ODE 控制优化

本文由手写笔记《优化问题数值方法》扫描件的 LaTeX 转录稿改写而来，公式以红色保留原稿的红笔重点标记。 定理与定义的编号沿用原稿编号，便于与 PDF 对照。

定义 4.7

设 $X$ 为度量空间，$\overline{\mathbb R}:=\mathbb R\cup\{+\infty\}$。

1. $f:X\to\overline{\mathbb R}$ 下半连续，若对任意 $r\in\mathbb R$，

   $$\{x\in X\mid f(x)\leqslant r\}\ \text{为闭集}.$$

2. $f$ 下半连续 $\Longleftrightarrow$ 对任意 $x^*\in X$，若 $x_k\to x^*$，则

   $$f(x^*)\leqslant\liminf_{k\to\infty}f(x_k).$$

3. 弱下半连续：$x_k\rightharpoonup x^*$。

弱下半连续弱于下半连续。

命题 4.1

$X$ 为度量空间，$f:X\to\mathbb R$，则 $f$ 连续 $\Longleftrightarrow f$ 上半连续且下半连续。

命题 4.2

$X$ 为度量空间，$f:X\to\overline{\mathbb R}$ 下半连续，$x\in A$。

1. $A$ 为有限集，则 $\inf f$ 在 $A$ 上可达；
2. $\sup f$ 在 $A$ 上可达；
3. $\inf f$ 在 $A$ 上可达。

控制区域为闭集的，若性能指标不具有凸性，则最优控制可能不存在。

$$\text{若 }J(w):=(c,x), \qquad \nabla J(w):=(A^{-1})^T c,$$ $$J(w):=\frac12(x,x), \qquad \nabla J(w):=(A^{-1})^T x.$$

状态方程

$$\left\{ \begin{aligned} \dot{x}(t)+Ax(t)&=Bu(t)+e,\qquad t\in[0,T],\\ x(0)&=x_0, \end{aligned} \right. \qquad A\in\mathbb R^{n\times n}.$$

若 $A,B$ 满足 Kalman 秩条件

$$\operatorname{rank}\bigl(B,AB,\ldots,A^{n-1}B\bigr)=n,$$

则为可控系统。

$$\inf_{u\in L^2(0,T;\mathbb R^m)}\|x(T)-x_T\|^2 \qquad\text{s.t. 状态方程}$$

4.1 直接算法

1. 给定初始值：$u^k\in L^2(0,T;\mathbb R^m)$，$x_0,x_T\in\mathbb R^n$，$\varepsilon>0$，$k=1$。

2. 状态方程

   $$\left\{ \begin{aligned} \dot{x}^k(t)+Ax^k(t)&=Bu^k(t),\qquad t\in[0,T],\\ x^k(0)&=x_0, \end{aligned} \right. \quad\Longrightarrow\quad x^k(T).$$

3. 求解随伴方程

   $$\left\{ \begin{aligned} -\dot{p}^k(t)+A^Tp^k(t)&=0,\qquad t\in[0,T],\\ p^k(T)&:=x^k(T)-x_T, \end{aligned} \right. \quad\Longrightarrow\quad p^k(t).$$

4. 梯度下降，步长 $\rho_k\in(0,1)$，计算

   $$u^{k+1}:=u^k-\rho_k\bigl(B^Tp^k+\lambda u^k\bigr).$$

5. 若 $\|u^{k+1}-u^k\|>\varepsilon$，令 $k:=k+1$，回到第 2 步。

6. $u^*\gets u^{k+1}$。

若

$$J(u):=\frac12\|x(T)-x_T\|^2 +\frac{\lambda}{2}\int_0^T\|u(t)\|^2\,\mathrm dt, \qquad \forall u\in L^2(0,T;\mathbb R^m).$$

(A) 无约束优化

$$\inf_{x\in X}J(x):=F(x,u^\delta)+\lambda G(x),$$ $$F(x,u^\delta):=\|Kx-u^\delta\|^p, \qquad K:X\to Y\text{ 为算子}.$$

若 $X,Y$ 为 Banach 空间，$X$ 为闭凸集，$F(x,u^\delta),G(x)$ 连续，并且

1. 对任意 $\{x_n\}$，$\{J(x_n)\}$ 有界 $\Longrightarrow\{x_n\}$ 一致有界；
2. $G$ 下半连续；若 $x_n\rightharpoonup x$，$E\subset X$ 为闭集，$f:E\to\overline{\mathbb R}$ 为连续函数；
3. 算子 $K$ 有界，

则最优解 $u$ 存在。

(B)

$$\left\{ \begin{aligned} \dot{x}(t)&=A(t)x(t)+B(t)u(t),\\ x(0)&=x_0\in\mathbb R^m, \end{aligned} \right. \qquad J(x,u):=\int_0^T F(x,u)\,\mathrm dt+G(x(T)).$$

若 $A,B\in L^\infty$，控制区间 $U\subset\mathbb R^m$ 为闭集，$F,G$ 为连续有界函数，则有最优控制。