https://TsukiraLuna.github.io TsukiraLuna 的个人博客，数学但又不止于数学 zh-CN Wed, 16 Sep 2026 00:00:00 GMT https://TsukiraLuna.github.io/blog/general-physics-1/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/general-physics-1/ Wed, 16 Sep 2026 00:00:00 GMT 普通物理（一）复习笔记：运动与力、运动守恒量、刚体运动、相对论基础、气体动理论与热力学基础。公式为主，便于考前速查。 普通物理 力学 热学 相对论 复习笔记 https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch07/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch07/ Sun, 08 Jun 2025 00:00:00 GMT 高级数值分析复习题与解答：Legendre 多项式的基本性质、线性无关性与函数范数、正交性与最佳平方/一致逼近、数值积分与常微分方程的复习题、函数逼近补充题。 高级数值分析 复习题 Legendre 多项式 最佳逼近 https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch06/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch06/ Sat, 07 Jun 2025 00:00:00 GMT 非线性方程组迭代法：收敛与收敛阶、二分法、不动点迭代、Newton 法与割线法、拟 Newton 法以及最小二乘法。 高级数值分析 非线性方程 Newton 法 不动点迭代 https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch05/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch05/ Fri, 06 Jun 2025 00:00:00 GMT 线性方程组迭代法：最速下降法、共轭梯度法及其 Krylov 子空间最优性、MINRES 与 GMRES 方法。 高级数值分析 迭代法 共轭梯度法 GMRES https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch04/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch04/ Thu, 05 Jun 2025 00:00:00 GMT 矩阵特征值计算：幂法与正交迭代、QR 方法（位移加速、Hessenberg 降阶、隐式双重位移）、Krylov 子空间、Arnoldi 方法与 Lanczos 方法。 高级数值分析 特征值 QR 方法 Krylov 子空间 https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch03/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch03/ Wed, 04 Jun 2025 00:00:00 GMT 常微分方程数值解法：离散化与局部截断误差、一致性与稳定性、Euler 与 Runge–Kutta 方法、线性多步法与 Dahlquist 等价定理、刚性问题、配点法与 Galerkin 方法。 高级数值分析 常微分方程 Runge–Kutta 刚性方程 https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch02/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch02/ Tue, 03 Jun 2025 00:00:00 GMT 数值积分：机械求积与插值型求积公式、Newton–Cotes 公式、Gauss 求积（Legendre 及含权奇异积分）、振荡积分与 Filon 型方法、高维数值积分。 高级数值分析 数值积分 Gauss 求积 Newton–Cotes https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch01/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis-ch01/ Mon, 02 Jun 2025 00:00:00 GMT 函数逼近：最佳逼近、正交多项式（Legendre 与 Chebyshev）、最小二乘与最佳平方逼近、最佳一致逼近与 Chebyshev 交错定理、三角多项式逼近、深度神经网络与函数表示。 高级数值分析 函数逼近 正交多项式 Chebyshev https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/advanced-numerical-analysis/ Sun, 01 Jun 2025 00:00:00 GMT 高级数值分析笔记的章节索引：函数逼近、数值积分、常微分方程数值解法、矩阵的特征值、线性与非线性方程组迭代法，以及复习题。 高级数值分析 数值分析 复习笔记 索引 https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch06/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch06/ Wed, 07 May 2025 00:00:00 GMT 测度论复习题：测度与 $\sigma$ 有限性、$\pi$ 类与 $\lambda$ 类、单调类定理与测度唯一性、Carathéodory 测度扩张、各种收敛方式、收敛定理与反例、乘积空间积分、符号测度分解、$L^p$ 对偶与完备化。 测度论 复习题 收敛定理 测度分解 https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch05/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch05/ Tue, 06 May 2025 00:00:00 GMT 拓扑空间上的测度：拓扑与 Borel $\sigma$ 代数、连续函数与 Riesz 表示定理、内正则与外正则、正则测度与 Radon 测度及其判别。 测度论 Hausdorff 空间 Riesz 表示 Radon 测度 https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch04/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch04/ Mon, 05 May 2025 00:00:00 GMT 乘积可测空间：乘积 $\sigma$ 代数、投影与截面、乘积测度的存在唯一性、Tonelli 定理与 Fubini 定理。 测度论 乘积空间 Tonelli 定理 Fubini 定理 https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch03/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch03/ Sun, 04 May 2025 00:00:00 GMT 测度论积分理论：非负函数与可积函数的积分、单调收敛定理、Fatou 引理、控制收敛定理、不定积分与符号测度、Radon–Nikodym 定理、$L^p$ 空间及其对偶。 测度论 积分 收敛定理 Lp 空间 https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch02/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch02/ Sat, 03 May 2025 00:00:00 GMT 可测映射：可测性的等价刻画、函数生成的 $\sigma$ 代数、可测函数的运算、几乎处处收敛、几乎一致收敛与依测度收敛的关系。 测度论 可测函数 几乎处处收敛 依测度收敛 https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch01/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory-ch01/ Fri, 02 May 2025 00:00:00 GMT 测度论基础：集合运算与集类、单调类定理、测度的定义与性质、外测度与可测集、可测函数。 测度论 集类 单调类定理 外测度 https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/measure-theory/ Thu, 01 May 2025 00:00:00 GMT 测度论笔记的章节索引：集类与测度、可测映射、积分与空间 $L^p$、乘积空间、Hausdorff 空间上的测度，以及复习题。 测度论 实分析 复习笔记 索引 https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch05/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch05/ Sat, 05 Apr 2025 00:00:00 GMT 抽象代数综合例题 21 道：群指数公式与陪集、置换的不交循环分解与共轭、Abel 群同构类计数、Z_m 到 Z_n 的同态个数、PID 与 Bezout、Gauss 整数环为欧氏整环、域扩张与中间域次数。 抽象代数 例题 群论 环论 https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch04/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch04/ Fri, 04 Apr 2025 00:00:00 GMT 抽象代数域论：特征、子域与素子域、域扩张与生成子域、中间域与次数公式、代数元与超越元、极小多项式、单代数扩张、代数闭域及其等价刻画。 抽象代数 域论 域扩张 极小多项式 https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch03/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch03/ Thu, 03 Apr 2025 00:00:00 GMT 抽象代数环论：环与整环、子环与理想、商环、环同态与同态定理、分式域、唯一分解整环、主理想整环与欧氏整环、多项式环、极大理想与素理想、代数闭包。 抽象代数 环论 唯一分解整环 理想 https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch02/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch02/ Wed, 02 Apr 2025 00:00:00 GMT 抽象代数群论：群与子群、陪集与 Lagrange 定理、正规子群与商群、同态基本定理与同构定理、循环群、置换群与 A_n、群对集合的作用与类方程、Sylow 定理、群直积、有限生成 Abel 群。 抽象代数 群论 Sylow 定理 置换群 https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra/ Tue, 01 Apr 2025 00:00:00 GMT 抽象代数复习笔记的章节索引：预备知识、群论、环论、域论与综合例题。 抽象代数 复习笔记 索引 https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch01/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/abstract-algebra-ch01/ Tue, 01 Apr 2025 00:00:00 GMT 抽象代数预备知识：集合运算与 Cartesian 积、关系与等价关系、商集与等价类分解、映射（单射满射双射、可逆映射）、二元运算与单位元。 抽象代数 集合论 等价关系 映射 https://TsukiraLuna.github.io/blog/latex-math/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/latex-math/ Fri, 03 Jan 2025 00:00:00 GMT 验证本站的 LaTeX 渲染能力，覆盖行内公式、多行对齐、矩阵、分段函数、积分、希腊字母下标等容易出问题的写法。同时作为自查清单。 LaTeX KaTeX 公式 https://TsukiraLuna.github.io/blog/writing-guide/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/writing-guide/ Thu, 02 Jan 2025 00:00:00 GMT 一篇讲清 frontmatter 字段、常用 Markdown 写法、LaTeX 公式，以及从 Hexo/Butterfly 迁移过来时需要改什么。 写作 Markdown MDX LaTeX https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-09/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-09/ Mon, 09 Sep 2024 00:00:00 GMT 本章汇集数值分析各主要方法的例题：Doolittle 与 Crout 分解、列主元 PLU 分解、Cholesky 分解、追赶法、Jacobi 与 Gauss-Seidel 迭代、SOR、最小二乘、特征值与插值。 数值分析初步 例题 LU分解 列主元消去 追赶法 Jacobi迭代 SOR https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-08/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-08/ Sun, 08 Sep 2024 00:00:00 GMT 向前与向后 Euler 格式、梯形格式与改进 Euler 格式及其局部截断误差与精度阶，一般 Runge–Kutta 方法与线性多步格式，以及单步法的相容性、收敛性误差估计与绝对稳定域。 数值分析初步 常微分方程 Euler法 Runge-Kutta 多步法 稳定性 https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-07/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-07/ Sat, 07 Sep 2024 00:00:00 GMT 本章介绍数值积分：Newton–Cotes 求积公式与代数精度的刻画、梯形与 Simpson 公式及其余项、求积公式的收敛性与稳定性，复化梯形与复化 Simpson 公式、Romberg 逐级外推算法，以及正交多项式与 Gauss 型求积公式。 数值分析初步 数值积分 Newton-Cotes Simpson公式 Romberg Gauss求积 https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-06/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-06/ Fri, 06 Sep 2024 00:00:00 GMT 介绍函数插值的基本方法：Lagrange 基函数与插值余项，Newton 差商及其递推公式，Hermite 插值，分段三次 Hermite 插值的四种边值条件，以及截断幂与 B 样条的定义。 数值分析初步 插值 Lagrange插值 Newton差商 Hermite插值 三次样条 B样条 https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-05/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-05/ Thu, 05 Sep 2024 00:00:00 GMT 介绍矩阵特征值问题的常用数值方法：乘幂法与反幂法、原点位移与 Rayleigh 商迭代、降阶方法，对称矩阵的 Jacobi 旋转法与 Givens–Householder 三对角化，以及用 Sturm 序列计数特征值的二分法。 数值分析初步 特征值 幂法 反幂法 Jacobi方法 三对角化 https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-04/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-04/ Wed, 04 Sep 2024 00:00:00 GMT 本章讨论线性最小二乘问题的直接解法：先给出最小二乘解、像空间与核空间、正交补的定义，导出法方程与解的判别条件，再介绍 Householder 与 Givens 初等正交变换，最后用正交变换构造 QR 分解并据此求解最小二乘问题。 数值分析初步 最小二乘 广义逆 QR分解 正交变换 https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-03/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-03/ Tue, 03 Sep 2024 00:00:00 GMT 本章从向量范数、矩阵范数与谱半径出发，给出迭代法 x^(k+1)=Hx^(k)+g 的收敛判据，并讨论 Jacobi、Gauss-Seidel、SOR 迭代的构造、收敛条件与误差估计。 数值分析初步 迭代法 Jacobi迭代 Gauss-Seidel SOR 范数 https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-02/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-02/ Mon, 02 Sep 2024 00:00:00 GMT 三角形方程组回代、Gauss 消元法及其计算量与可行性、列主元消元、LU 与 LDU 分解、Doolittle 分解示例、带置换的 LU 分解，以及对称正定方程组的 Cholesky 分解与三对角方程组的追赶法。 数值分析初步 线性方程组 Gauss消元 LU分解 Cholesky分解 https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis/ Sun, 01 Sep 2024 00:00:00 GMT 数值分析初步各章笔记的索引入口。每章一篇独立文章，系列页按阅读顺序自动汇总。 数值分析初步 https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-01/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/numerical-analysis-01/ Sun, 01 Sep 2024 00:00:00 GMT 机器数与浮点数表示、上溢出与下溢出、绝对误差与相对误差及其误差限、有效数字的定义与相对误差的关系。 数值分析初步 误差 有效数字 浮点数 https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-06/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-06/ Tue, 30 Apr 2024 00:00:00 GMT 数项级数敛散性判断、Sapogov 判别法、部分和构成的级数，以及收敛级数导出的若干极限结论。 数学分析讨论班补充 数项级数 敛散性 Sapogov判别法 https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-08/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-08/ Tue, 30 Apr 2024 00:00:00 GMT 广义积分的敛散性判断、由收敛性推出的常见结论（一致连续、单调递减），以及反例构造。 数学分析讨论班补充 广义积分 敛散性 反例 https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-05/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-05/ Tue, 09 Apr 2024 00:00:00 GMT 无穷求和的极限、积分中值问题、变限积分求导、三角函数积分技巧与周期函数积分性质。 数学分析讨论班补充 定积分 极限 周期函数 https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-04/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-04/ Tue, 02 Apr 2024 00:00:00 GMT 积分的极限问题（分段估值、子区间、抓大头）与定积分计算技巧（区间反射、中点奇偶性）。 数学分析讨论班补充 定积分 积分极限 https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-03/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-03/ Sun, 31 Mar 2024 00:00:00 GMT 用定义计算定积分、可积的等价定义及其应用（复合函数可积性、间断点收敛序列），以及两个带星号的极限问题。 数学分析讨论班补充 定积分 可积性 极限 https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-02/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-02/ Sat, 23 Mar 2024 00:00:00 GMT Lagrange 定理的逆定理、含三角函数积分与万能代换，以及定积分的定义、等价定义与可积性讨论。 数学分析讨论班补充 Lagrange定理 定积分 可积性 https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis/ Sat, 16 Mar 2024 00:00:00 GMT 大二下数学分析讨论班补充问题的索引入口。每次讨论班一篇，系列页按阅读顺序自动汇总。 数学分析讨论班补充 https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-01/ https://TsukiraLuna.github.io/blog/math-analysis-seminar-01/ Sat, 16 Mar 2024 00:00:00 GMT 不定积分的配对积分法与降次技巧、三角函数积分，以及极值、单调性与凹凸性的补充问题。 数学分析讨论班补充 不定积分 凹凸性