数学分析 第 6 次讨论班补充

一、判断敛散性

(1) $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$

(2) $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n}\right)$

(3) $\sum_{n=1}^\infty q^n\ln n$

（尝试使用下面两个引理）

(i) $\forall\varepsilon>0$，$n$ 足够大，有 $0<\ln n<n^\varepsilon$

(ii) $\forall\varepsilon>0$，$0<q<1$ 定值，$n$ 足够大，有 $0<q^n<\dfrac{1}{n^\varepsilon}$

(4) $\sum_{n=1}^\infty \sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)$

二、部分和构成的级数

$\sum_{n=1}^\infty u_n \text{ 收敛},\quad S_n \text{ 是 } u_n \text{ 的部分和数列},\quad \text{讨论}\ \sum_{n=1}^\infty \frac{u_n}{(S_n)^p}\ \text{的敛散性}$

三、Sapogov 判别法

$x_n$ 是一个单调下降的正数列，求证： $\sum_{n=1}^\infty \left(1-\frac{x_{n+1}}{x_n}\right) \text{ 发散} \Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty} x_n=0$

四、与部分和相关的敛散性

$u_n>0,\quad S_n \text{ 为部分和，求证：}\ \sum_{n=1}^\infty \frac{u_n}{S_n} \text{ 的敛散性和 } \sum_{n=1}^\infty u_n \text{ 相同}$

并据此证明：

$x_n$ 单调增的恒正数列，求证：$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(1-\frac{x_n}{x_{n+1}}\right)$ 的敛散性和数列 $x_n$ 相同。

五、收敛级数的极限问题

设级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛于 $a$。

(1) 求极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{n a_1+(n-1)a_2+\cdots+a_n}{n}$

(2) 证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_1+2a_2+\cdots+n a_n}{n}=0$

六、单调减条件下的结论

设级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，且 $a_n$ 单调减，则有 $\lim_{n\to\infty} n a_n=0$