数学分析第 5 次讨论班补充

一、无穷求和的极限

夹挤定理、定积分定义或微分学方法（上学期第七次讨论班第七题）。

计算： $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+\frac{1}{k}}\sin\frac{k\pi}{n}$

$f(x)$ 在 $[1,2]$ 连续， $(1,2)$ 可导，且有 $f(1)=\int_1^2 e^{(x-1)^2}f(x)\,dx$ 证明：在 $(1,2)$ 间至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f'(\xi)=2f(\xi)(1-\xi)$ 。

$\frac{d}{dx}\left(\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt\right)=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x)$

$f(x)$ 连续，则有 $\int_0^{\pi} xf(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x)\,dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx$

计算： $\int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+(\cos x)^2}\,dx$

设 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上以 $T$ 为最小正周期的周期函数，则对任意正整数 $n$ $\int_a^{a+nT} f(x)\,dx=n\int_0^T f(x)\,dx$

$f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，证明： $\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{n}{n^2+x^2}f(x)\,dx=\frac{\pi}{2}f(0)$

二、积分中值问题

f(x)

在

[1,2]

连续，

(1,2)

可导，且有

f(1)=\int_1^2 e^{(x-1)^2}f(x)\,dx

证明：在

(1,2)

间至少存在一点

\xi

，使得

f'(\xi)=2f(\xi)(1-\xi)

。

四、三角函数积分技巧

f(x)

连续，则有

\int_0^{\pi} xf(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x)\,dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx

计算：

\int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+(\cos x)^2}\,dx