数学分析 第 4 次讨论班补充

一、积分的极限

(1) 分段估值

$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 (\sin x)^n\,dx=0$

(2)（*）子区间

$f(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 连续，求证： $\lim_{n\to\infty}\int_0^{2\pi} f(x)\,|\sin nx|\,dx=\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\,dx$

(3)（***）

$f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，求： $\lim_{n\to\infty} n\int_0^1 x^n f(x)\,dx$

二、定积分计算的一些技巧

(1) 区间反射 $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx$

(2) $f(x)$ 关于 $(a,b)$ 中点是偶函数 $\int_a^b f(x)\,dx=2\int_a^{\frac{a+b}{2}} f(x)\,dx=2\int_{\frac{a+b}{2}}^b f(x)\,dx$

(3) $f(x)$ 关于 $(a,b)$ 中点是奇函数 $\int_a^b f(x)\,dx=0$