数学分析 第 3 次讨论班补充

一、定积分定义

1. 用定义计算
2. 重要证明：教材 P197.2

$f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，证明： $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$

二、可积的等价定义

定理（可积的等价定义）

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积 $\Longleftrightarrow$ $\forall\varepsilon>0$，$\forall\sigma>0$，$\exists$ 分划 $T=\{x_k\}_{k=0}^n$，使得 $\sum_{k\in\mathcal{K}_\varepsilon}\Delta x_k<\sigma,\qquad\text{其中 } \mathcal{K}_\varepsilon=\{k;\omega_k\ge\varepsilon\}$

使用这个等价定义证明：

(1)（*） 如果 $f(x)$ 在 $[A,B]$ 上连续，$\varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积且 $\varphi([a,b])\subset[A,B]$，则 $(f\circ\varphi)(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

(2)（尝试用两种方法证明） 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 有界，且其所有间断点构成一个收敛序列，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积。

三、（*）书 P202T10

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，求证： $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\,dx=0$

四、（**）抓大头法

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续且非负，证明： $\lim_{n\to\infty}\left(\int_a^b f^n(x)\,dx\right)^{\frac{1}{n}}=\max_{a\le x\le b}f(x)$