数学分析 第 2 次讨论班补充

一、Lagrange 定理的逆定理

定理（Lagrange 定理的逆定理）

设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可微，且在某点 $\xi\in(a,b)$ 处 $f''(\xi)\neq 0$，证明存在 $x_1,x_2\in(a,b)$，使得 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f'(\xi)$ 并举例说明对于满足 $f''(\xi)=0$ 的点 $\xi\in(a,b)$，结论可能不成立。

尝试利用这个定理证明补充 1中最后一题。

二、不定积分的一些技巧

含有三角函数的积分：万能代换 $t=\tan x$。

教材 P117 中间三行字「一般来讲」。

三、关于定积分

3.1 定义证明

• 习题课 4T1
• 教材 P197T2

3.2 等价定义

习题课 4 可积性条件充要条件 (4)(5)。

3.3 关于可积性的讨论

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 有界，且其所有间断点构成一个收敛序列，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积。（证明可以参考习题课 4T7(1)）

3.4「蚊子包」问题

3.4.1 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 非负连续，则 $\int_a^b f(x)\,dx=0$ 当且仅当 $f(x)\equiv 0$。

3.4.2 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，并且 $I=\int_a^b f(x)\,dx>0$，那么存在区间 $[a_0,b_0]\subset[a,b]$ 和 $\mu>0$，使得在 $[a_0,b_0]$ 上 $f(x)\ge\mu$。

3.5 定积分具体值范围的证明

3.5.1 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 连续且单调增，证明： $(a+b)\int_a^b f(x)\,dx\le 2\int_a^b xf(x)\,dx$

3.5.2 教材 P208T6。

3.5.3 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 可导，$|f'(x)|\le 1$，$f(0)=f(2)=1$，证明： $1\le\int_0^2 f(x)\,dx\le 3$