数学分析 第 1 次讨论班补充

一、不定积分的一些方法和技巧

1.1 配对积分法

在计算不定积分 $I=\int f(x)\,dx$ 时，我们可以找到一个和 $I$ 相关的不定积分 $J=\int g(x)\,dx$ 以及数 $a,b,c,d$，使得 $aI+bJ$、$cI+dJ$ 均较容易计算，通过求解线性方程组得到 $I$。

例：

• 1.1.1 第二次习题课 例 3
• 1.1.2 $I=\int \frac{\sin x}{2\sin x+3\cos x}\,dx,\qquad J=\int \frac{\cos x}{2\sin x+3\cos x}\,dx$

1.2 分母如何降次？

常见的降次方法：凑微分或拆。

例： $I=\int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}\,dx$

1.3 含有三角函数的积分的一些技巧

• 常数项拆成 $(\sin x)^2+(\cos x)^2$ 的形式
• 尽量化成只含有 $\sin$ 和 $\cos$ 的形式，然后化成 $\tan$ 和 $\sec$
• 使用二倍角公式降次

例： $I=\int \frac{1}{(\sin x)^6+(\cos x)^6}\,dx$

二、关于函数极值、单调性和凹凸性的一些补充

2.1 关于极值和单调性

2.2.1 是否存在定义在 $(a,b)$ 上的实函数 $f(x)$，满足

1. 在点 $x_0\in(a,b)$ 处可导并 $f'(x_0)=0$；
2. $\forall \delta>0$，$f(x)$ 在邻域 $N(x_0,\delta)$ 内无单调性？

2.2.2 设实函数 $f(x)$ 定义在 $(a,b)$ 上，在点 $x_0\in(a,b)$ 处可导并 $f'(x_0)>0$。问是否存在 $\delta>0$，使得 $f(x)$ 在邻域 $N(x_0,\delta)$ 内单调增？

2.2 关于凹凸性

先给出一个教材上没有的等价条件（作为 P144 定理 4.7 的补充）。

定理（凹凸性的等价表述）

若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 下凸的充要条件是：对于任意的 $a<x_1<x_2<x_3<b$，均有 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\le\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$

根据这个不等式，如果把其中的 $x_2$ 看成常数，$x_1,x_3$ 看成变量，定义函数 $F_{x_2}(x)=\frac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2}\qquad\bigl(x\in(a,x_2)\cup(x_2,b)\bigr)$ 则有：

定理

若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 下凸的充要条件是：对于任意的 $a<x_0<b$，均有 $F_{x_0}(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\qquad\bigl(x\in(a,x_0)\cup(x_0,b)\bigr)$ 单调增。且若 $f'(x_0)$ 存在，则可以补充定义 $F_{x_0}(x_0)=f'(x_0)$。

2.2.1 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上充分光滑，$\forall x_1<x_2\in[a,b]$，$\exists!\ \xi\in(x_1,x_2)$ 使得 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f'(\xi)$ 证明：$f(x)$ 要么是上凸函数要么是下凸函数。