数学分析 第 9 次讨论班补充

一、判断敛散性

(1) $\int_0^{+\infty}\frac{(\sin x)^2}{\sqrt{x}}\,dx$

(2) $\int_0^1\frac{\ln x}{1-x^2}\,dx$

(3) $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p|\ln x|^q}\qquad(p,q>0)$

(4) $\int_0^{+\infty}\frac{\sin x^2}{x^p}\,dx$

二、常见推论

设 $\int_1^{+\infty} f(x)\,dx \text{ 收敛}$

(1) $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 一致连续，则 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$

(2) $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 单调递减且连续，则 $\lim_{x\to+\infty} xf(x)=0$

三、反例

(1) 存在不单调递减的函数 $f(x)$ 使得 $\int_1^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛，但 $f(x)$ 在 $+\infty$ 的极限不存在。

$\sin(x^2)$

(2) 存在 $[0,+\infty)$ 无界的连续函数 $f(x)$，但 $\int_0^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛。