抽象代数 · 章节索引

本系列由手写笔记《抽象代数》扫描件的 LaTeX 转录稿（ElegantBook 排版）改写为 MDX 博文。 原稿中红笔标出的重点，在网上以红色保留。

这是一份抽象代数复习笔记，按「预备知识 → 群论 → 环论 → 域论 → 综合例题」的顺序整理，共 5 章。

章节

章	标题	内容
第一章	预备知识	集合与 Cartesian 积、等价关系与商集、映射、二元运算
第二章	群论	群与子群、陪集与 Lagrange 定理、正规子群与商群、同态与同构、循环群、置换群、群作用、Sylow 定理、群直积、有限生成 Abel 群
第三章	环论	环与整环、子环与理想、环同态、分式域、唯一分解整环、主理想整环与欧氏整环、多项式环、极大理想与素理想
第四章	域论	域扩张与中间域、代数扩张、代数元与极小多项式、代数闭域
第五章	例题	群论、环论与域论的综合例题 21 道（含证明）

记号约定

原笔记的编号是「节-序号」（如定义 1-1、命题 2-3、定理 2-6），本系列保留原编号，便于与手写原稿对照。

• 定义、命题、定理、性质、推论以引用块呈现，编号沿用原稿
• 行末标有「请人工核对」的条目，是原稿字迹不清或推导潦草处，转录时未作臆改
• 原稿中有少量笔误（如个别地方把「并」写成「子群」），已按原稿保留

几条贯穿全篇的结论

• Lagrange 定理：$H\leq G$，$G$ 有限 $\Rightarrow |H|$ 整除 $|G|$，且 $|G|=|H|\cdot[G:H]$
• 同态基本定理：群同态 $f$ 诱导 $G/\ker f\cong\operatorname{Im}f$；环同态同理得 $R/\ker f\cong\operatorname{im}f$
• 链：域 $\subset$ 欧氏整环 $\subset$ PID $\subset$ 唯一分解整环
• 域扩张次数公式：$E$ 为 $K/F$ 的中间域，则 $[K:F]=[K:E][E:F]$