抽象代数 第 1 章 预备知识

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1.1 集合

属于、不属于、空集、子集、相等是集合论中的基本概念。

定义 1-1（并集）

设 $A,B$ 为两集合，$A,B$ 的并：

$$A\cup B = \{x \mid x\in A\ \text{或}\ x\in B\}$$

定义 1-2（交集）

设 $A,B$ 为两集合，$A,B$ 的交：

$$A\cap B = \{x \mid x\in A\ \text{且}\ x\in B\}$$

命题 1-1（集合运算的性质）

1. 若 $A\subseteq B$，则 $A\cup B = B$，$A\cap B = A$；
2. 交换律；
3. 结合律；
4. 分配律；
5. Morgan 公式：

$$(A\cap B)^{c} = A^{c}\cup B^{c},\qquad (A\cup B)^{c} = A^{c}\cap B^{c}$$

定义 1-3（补集）

$U - A$，$C_U A$，$A^{c}$。对指标集可推广 Morgan 公式。

1.2 Cartesian 积

定义 2-1（Descartes 积）

设 $A,B$ 为集合，$(a,b)$ 为有序偶（$a\in A,\ b\in B$）。全体组成的集合称为 $A,B$ 的 Descartes 积，记为 $A\times B$：

$$A\times B = \{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}$$

对一族集合 $\{A_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}$，也可取所有 $A_\alpha$ 的 Cartesian 积。

1.3 等价关系与商集

定义 3-1（关系）

设 $A,B$ 为集合，积集合 $A\times B$ 的一个子集 $R$ 称为 $A$ 到 $B$ 的一个关系；$A\times A$ 的子集称为 $A$ 上的一个关系。

若 $(a,b)\in R\subseteq A\times B$，称 $a$ 与 $b$ 为 $R$ 相关，记为 $aRb$。

一般一个关系通过性质 $P$ 给出。$P$ 满足：$a,b\in A$，下面两种情况只有一种成立：

• $a,b$ 满足 $P$：$(a,b)\in P$，记 $aRb$；
• $a,b$ 不满足 $P$：$(a,b)\notin P$。

这样也将关系称为 $P$ 关系。

定义 3-2（等价关系）

设 $R$ 为 $A$ 上的一个关系，若 $R$ 满足下列条件：

1. $\textcolor{red}{\text{自反性}}$：$a\in A \Rightarrow (a,a)\in R$；
2. $\textcolor{red}{\text{对称性}}$：$(a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R$；
3. $\textcolor{red}{\text{传递性}}$：$(a,b)\in R,\ (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R$。

则 $\textcolor{red}{R\ \text{称为}\ A\ \text{上的等价关系}}$，记为 $a\sim b$。

恒等关系是一种常见的等价关系。

设 $\sim$ 为集合 $A$ 中的一个等价关系，$a$ 为 $A$ 的一个元素。与 $a$ 等价的元素全体组成 $A$ 的一个子集，称为 $a$ 的一个$\textcolor{red}{\textbf{等价类}}$，记为 $[a]$。

$\textcolor{red}{\text{可推出}}$：

$$\textcolor{red}{a\sim b \Longleftrightarrow [a]=[b] \Longleftrightarrow [a]\cap[b]\neq\varnothing}$$

$\textcolor{red}{\text{集合上一个等价关系决定该集合的一个分割；给定 } A \text{ 的一个分割，可得到 } A \text{ 上的一个等价关系。}}$

命题 3-1（等价关系与分割）

$R$ 为 $A$ 上的一个等价关系，则 $R$ 决定 $A$ 的一个分割；反之也成立（由分割可导出等价关系）。

定义 3-3（商集）

设 $\sim$ 为集合 $A$ 上的一个等价关系。$A$ 上所有等价类组成的集合称为 $A$ 关于等价关系 $\sim$ 的商集，$\textcolor{red}{\text{记为 } A/\sim \text{ 或 } \overline{A}}$。$a\in A$，$a$ 的$\textcolor{red}{\text{等价类为 } \overline{a}}$。

定义 3-4（等价类分解）

设 $\sim$ 为 $A$（关于 $\sim$）上一个等价关系，则 $A$ 可分解为各等价类之并（重复的只取一个）：

$$\textcolor{red}{\boxed{A = \bigcup [a]}}$$

注意：$\forall a_i\in A$，有 $a_i\in [a_i]$。

1.4 映射

定义 4-1（映射）

设 $A,B$ 为非空集合，$M\subseteq A\times B$。若 $\forall a\in A$，$\exists!\,b\in B$，使得 $(a,b)\in M$，则称 $M$ 为映射。 $A$ 为定义域，$B$ 为值域，记为 $a\mapsto b$，$f(a)=b$，$f: A\to B$。

例 1. $S\to S$，$a\mapsto a$ 为恒等映射，记为 $I_d$ 或 $I_S$。

设 $f: A\to B$，$a\in A$，$f(a)$ 为 $a$ 在 $f$ 下的像。 令 $\operatorname{Im} f = \{b\in B \mid b = f(a)\}$，称为 $f$ 的值域，记为 $f(A)$。

若 $b\in B$，$\exists a\in A$，使得 $f(a)=b$，则称 $a$ 为 $b$ 在 $f$ 下的原像：

$$f^{-1}(b) = \{a\in A \mid b = f(a)\}$$

定义 4-2（单射、满射、双射）

设 $f: A\to B$：

• 若 $\operatorname{Im} f = B$，则称 $f$ 为满射；
• 若 $\forall a\neq a'$ 有 $f(a)\neq f(a')$，则称 $f$ 为单射；
• 既单又满，则称 $f$ 为双射。

等价刻画：

$$\begin{aligned} \textcolor{red}{f\ \text{满}} &\Longleftrightarrow \textcolor{red}{\forall b\in B\ \exists a\in A\ \text{st}\ f(a)=b}\\ \textcolor{red}{f\ \text{单}} &\Longleftrightarrow \textcolor{red}{\forall b\in \operatorname{Im} f\ \exists!\,a\in A\ \text{st}\ f(a)=b}\\ \textcolor{red}{f\ \text{双}} &\Longleftrightarrow \textcolor{red}{\forall b\in B\ \exists!\,a\in A\ \text{st}\ f(a)=b} \end{aligned}$$

逆映射　若 $f: A\to B$ 为双射，则存在逆映射 $f^{-1}: B\to A$，$a\mapsto b$。定义 $g: B\to A$，$b\mapsto a$，记为 $f^{-1}$。

可逆映射　$f: A\to B$，若存在 $g: B\to A$，使得 $f\circ g = I_B$，$g\circ f = I_A$，则称 $f$ 可逆。$f$ 可逆 $\Longleftrightarrow$ $f$ 双射。

命题 4-1（复合的结合律）

设 $f: A\to B$，$g: B\to C$，$h: C\to D$，则

$$(h\circ g)\circ f = h\circ(g\circ f)$$

（满足结合律）

命题 4-2（单射、满射、双射的等价刻画）

设 $f: A\to B$：

1. $f$ 单 $\Longleftrightarrow \exists g: B\to A$，使得 $g\circ f = I_A$；
2. $f$ 满 $\Longleftrightarrow \exists g: B\to A$，使得 $f\circ g = I_B$；
3. $f$ 双 $\Longleftrightarrow \exists g: B\to A$，使得 $g\circ f = I_A$，$f\circ g = I_B$。

1.5 二元运算

定义 5-1（二元运算）

$S$ 为集合，$S\times S\to S$ 的一个映射称为 $S$ 上的一个二元运算，用 $\ast$ 表示，记 $a\ast b$。

单位元：$\exists e\in S$，使得 $e\ast x = x\ast e = x$。
性质：若 $\ast$ 有单位元，则单位元唯一。