抽象代数 第 4 章 域论

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4.1 域扩张

命题 1-1（特征）

设 $R$ 为整环，若 $R$ 中每个非零元的加法周期均为 $\infty$，则称 $R$ 的特征为 $0$，记为 $\operatorname{char} R = 0$。

若 $R$ 中一个非零元的加法周期为有限数，则 $R$ 中所有非零元的加法周期均有限且相同，并为素数 $p$，记为 $\operatorname{char} R = p$。

性质 1-1

设 $R$ 为整环。

1. 若 $\operatorname{char} R = 0$，则 $nx = 0 \Longleftrightarrow x = 0$（$n\in\mathbb{Z}$，$x\in R$）；
2. 若 $\operatorname{char} R = p$，则 $nx = 0 \Longleftrightarrow p\mid n$（$n\in\mathbb{Z}$，$x\in R$）。

$\operatorname{char} R = 0$ 与 $\operatorname{char} R = p$ 称为 $R$ 的特征。

定义 1-1（子域）

设 $F$ 为域，若 $F\subseteq E$ 且 $|F|\geq 2$，$F$ 在加法、乘法下封闭并构成域，则称 $F$ 为 $E$ 的子域。

命题 1-2

$K$ 为域，$F$ 为 $K$ 的子域 $\Longleftrightarrow$ $F\subseteq K$，$|F|\geq 2$，且 $\textcolor{red}{关于加法、乘法封闭}$。

推论 1.1　子域保单位元与逆元；子域的交仍为子域。

定义 1-2（素子域）

$K$ 的所有子域之交称为 $K$ 的素子域，记为 $K_0$。

$\operatorname{char} K = 0$ 时 $K_0\cong\mathbb{Q}$；$\operatorname{char} K = p$ 时 $K_0\cong\mathbb{Z}_p$。

定义 1-3（域扩张）

$K$ 为域，$F$ 为 $K$ 的子域，则 $K$ 为 $F$ 的$\textcolor{red}{域扩张}$，$\textcolor{red}{记 F\subseteq K}$（即 $K/F$）。

定义 1-4（生成子域）

$K/F$ 为域扩张，$K\supseteq S$，则 $F\cup S$ 在 $K$ 中生成的子域$\textcolor{red}{记为 F(S)}$（即 $K$ 中含 $F$ 与 $S$ 的子域之交），称为 $S$ 添加到 $F$ 上生成的子域（$S$ 在 $F$ 上生成的子域）。

若 $S=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$，则 $F(S)=F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$；若 $S=\{\alpha\}$，则 $F(S)=F(\alpha)$，称 $F(\alpha)$ 为 $F$ 的单扩张，$F(\alpha)/F$ 为单扩张。

命题 1-3

设 $K/F$ 为域扩张，$S,T\subseteq K$，则

$$F(S)(T)=\textcolor{red}{F(S\cup T)=F(T)(S)}$$

特别地，$\textcolor{red}{F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=F(\alpha_1)\cdots(\alpha_n)}$。

命题 1-4

设 $K/F$ 为域扩张，$\emptyset\neq S\subseteq K$，则

$$\textcolor{red}{F(S)=\{f(s_1,\dots,s_n)\,g(s_1,\dots,s_n)^{-1}\mid n\in\mathbb{N}^{*},\ s_1,\dots,s_n\in S\}}$$

其中 $f(x_1,\dots,x_n),\,g(x_1,\dots,x_n)\in F[x_1,\dots,x_n]$，$s_1,\dots,s_n\in S$。 特别地，若 $\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}\subseteq K$，则

$$\textcolor{red}{F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=\{f(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\,g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)^{-1}\mid f(\alpha_1,\dots,\alpha_n),\,g(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in F[x_1,\dots,x_n]\}}$$

推论 1-2　$K/F$ 为域扩张，$\alpha\in K$，则

$F(\alpha)=\{f(\alpha)g(\alpha)^{-1}\mid f(\alpha),\,g(\alpha)\in F[\alpha]\}$

定义 1-5（中间域）

$K/F$ 为域扩张，$E$ 为介于 $F$ 与 $K$ 之间的子域，称为 $K/F$ 的中间域，即 $K\supseteq E$ 且 $E/F$ 为域扩张。

命题 1-5

$\textcolor{red}{E 为 K/F 的中间域，则 [K:F]=[K:E][E:F]}$。

推论 1-3　若 $[K:F]$ 为素数，则 $K$ 与 $F$ 之间无子域

4.2 代数扩张

定义 2-1（代数元）

$K/F$ 为域扩张，对 $\alpha\in K$，若 $F$ 上存在非零多项式 $f(x)\in F[x]$ 使 $\textcolor{red}{f(\alpha)=0}$，则称 $\textcolor{red}{\alpha 为 F 上的代数元}$；$\textcolor{red}{否则称为 F 上的超越元}$。

若 $K$ 中每个元均为 $F$ 上的代数元，则称 $K$ 为 $F$ 的代数扩张；否则称之为超越扩张。

定义 2-2（零化多项式与极小多项式）

$K/F$ 为域扩张，$\alpha\in K$ 为 $F$ 上的代数元。

1. $\textcolor{red}{若 f(x)\in F[x] 且 f(\alpha)=0，则称 f(x) 为 \alpha 的零化多项式}$；
2. 记 $I_\alpha=\{f(x)\in F[x]\mid f(\alpha)=0\}$，$\textcolor{red}{设 p(x) 为 I_\alpha 中次数最小的非零多项式，称为 \alpha 的极小多项式}$。

命题 2-1

$\textcolor{red}{\alpha 的非零多项式为极小多项式 \Longleftrightarrow p(x) 为 F[x] 中的不可约元}$。

命题 2-2

$K/F$ 为域扩张，$\alpha\in K$ 为 $F$ 上的代数元，则

$p(x)\in F[x]$ 为 $\alpha$ 的极小多项式 $\Longleftrightarrow$ $p(\alpha)=0$ 且 $p$ $\textcolor{red}{首一不可约}$。

定义 2-3

$K/F$ 为扩张，$\alpha\in K$，则

$F[\alpha]=\{f(\alpha)\mid f(x)\in F[x]\}$

且 $\textcolor{red}{F[\alpha]\subseteq K，F[\alpha]\subseteq F(\alpha)}$。

定理 2-1

$K/F$ 为域扩张，$\alpha\in K$ 为 $F$ 上代数元，$p(x)$ 为 $\alpha$ 的极小多项式，则

$$\textcolor{red}{F[x]/(p(x))\cong F[\alpha]\cong F(\alpha)}$$

推论 2-1　$K/F$ 为域扩张，$\alpha\in K$，则

$\textcolor{red}{\alpha 为 F 上代数元 \Longleftrightarrow F(\alpha)=F[\alpha]}$，

$\textcolor{red}{\alpha 为 F 上超越元 \Longleftrightarrow F[\alpha]\subsetneq F(\alpha)}$。

定理 2-2

$\textcolor{red}{单代数扩张为有限扩张，其次数等于扩张元（\alpha）的极小多项式的次数}$。

命题 2-3

$\textcolor{red}{有限扩张为代数扩张}$。

推论 2-2　$K/F$ 为域扩张，$\alpha\in K$，则

$\textcolor{red}{F(\alpha)/F 有限 \Longleftrightarrow \alpha 为 F 上代数元}$，

$\textcolor{red}{F(\alpha)/F 无限 \Longleftrightarrow \alpha 为 F 上超越元}$。

命题 2-4

$K/F$ 为域扩张，若 $\alpha\in K$ 为 $F$ 上超越元，则

$$\textcolor{red}{F(\alpha)=\{f(\alpha)g(\alpha)^{-1}\mid f(\alpha)\in F[\alpha],\ g(\alpha)\in F[\alpha]\setminus\{0\}\}}$$

命题 2-5

$\textcolor{red}{代数元的和、差、积、商仍为代数元}$。

推论 2-3　$K/F$ 为域扩张，$S\subseteq K$，若 $S$ 中每个元均为 $F$ 上代数元，则 $\textcolor{red}{F(S)/F 为代数扩张}$。

命题 2-6

$\textcolor{red}{有限扩张是有限个代数元的扩域}$；$\textcolor{red}{代数扩张的代数扩张仍为代数扩张}$。

命题 2-7

$K/F$ 为域扩张，设 $E$ 为 $K$ 中 $F$ 上代数元之全体，则 $E$ 为 $K/F$ 的中间域；且若 $\alpha\in K$ 为 $E$ 上的代数元，则 $\alpha\in E$。

定义 2-4（代数闭域）

$K$ 为域，若 $\textcolor{red}{K[x] 中不可约元均为一次式}$，则称 $\textcolor{red}{K 为代数闭域}$。

命题 2-8（代数闭域的等价刻画）

$K$ 为域，下列等价：

1. $\textcolor{red}{K 为代数闭域}$；
2. $\textcolor{red}{K[x] 中每个非常数多项式均可写成 K 上的一次式的积}$；
3. $\textcolor{red}{K[x] 中每个非零多项式在 K 上均有根}$；
4. $\textcolor{red}{若 L/K 为代数扩张，则 L=K}$。