抽象代数 第 3 章 环论

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3.1 基本概念

定义 1-1（环）

非空集合 $R$ 称为一个环，如果在 $R$ 上定义了两种运算 $+$ 与 $\ast$，且有如下条件：

1. $(R,+)$ 为加法群，其零元为 $0$；
2. $\forall a,b,c\in R$，$(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)$（结合律）；
3. $\forall a,b,c\in R$，

$$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,\qquad c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b\quad(\text{分配律}).$$

若 $R$ 还满足下列条件，称为有恒等元的环（有 $1$）：

$$(4)\quad \exists e\in R,\ \text{s.t.}\ \forall a\in R,\ ea=ae=a.$$

在 $(4)$ 中，对 $a\in R$，若有 $b\in R$ 使 $ab=ba=e$，则称 $a$ 为可逆元或单位。　记 $U(R)=\{a\in R\mid a\ \text{可逆}\}$，$U(R)$ 在乘法下构成群，称为单位群。

性质 1-1

除乘法交换律外，环满足其他常见性质

定义 1-2（交换环）

满足乘法交换律（即 $\forall a,b\in R$，$ab=ba$）的环称为交换环。

定义 1-3（整环）

满足下列条件的环称为整环：

1. 至少含 $2$ 个元；
2. 有 $1$；
3. 交换；
4. 无零因子（即非零元之积非零）。

定义 1-4（除环）

满足下列条件的环称为除环：

1. 至少含 $2$ 个元；
2. 有 $1$；
3. 非零元有逆元，即 $U(R)=R\setminus\{0\}$。

定义 1-5（域）

交换除环称为域。

3.2 子环 理想 商环

定义 2-1（子环）

设 $R$ 为一个环，$S$ 为 $R$ 的子集，$S$ 在 $R$ 的加法与乘法下封闭，则称 $S$ 为 $R$ 的子环。

命题 2-1

$S\subseteq R$，$S$ 为 $R$ 的子环 $\iff \forall a,b\in S$，$a-b\in S$，$ab\in S$。

命题 2-2

1. $S_1\cup S_2$ 为 $R$ 的子环 $\iff S_1\subseteq S_2$ 或 $S_2\subseteq S_1$；
2. 若 $S_1$，$S_2$ 均为 $R$ 的子环，则 $S_1\cap S_2\le R$。

（子环并不一定为子环）

定义 2-2（由 $S$ 生成的子环）

$R$ 中含子集 $S$ 的所有子环之交，称为 $R$ 的含 $S$ 的最小子环，称为由 $S$ 生成的子环，记为 $\langle S\rangle$：

$$\langle S\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n}a_{i1}a_{i2}\cdots a_{ir}\ \middle|\ n\in\mathbb{N}^{*},\ a_{ij}\in S\right\}.$$

定义 2-3（中心）

记 $C=\{c\in R\mid \forall r\in R,\ cr=rc\}$，则 $C\le R$，称为 $R$ 的中心。

定义 2-4（理想）

设 $I\le R$，若 $I$ 为 $(R,+)$ 的一个加法子群，且对 $\forall r\in R$，$\forall a\in I$，有 $ar\in I$，$ra\in I$，则称 $I$ 为 $R$ 的一个理想。

定义 2-5（商环）

$R/I$ 是一个环，称为 $I$ 的商环。$R/I$ 中加法群也为加法群。设 $\bar a:=a+I$，$\bar b:=b+I$，则

$$\bar a+\bar b=\overline{a+b},\qquad \bar a\cdot\bar b=\overline{ab}.$$

定义 2-6（平凡理想）

任一环 $R$ 都有两个理想：$0$ 与 $R$，称为平凡理想。

命题 2-3

设 $I,J\triangleleft R$，则 $\textcolor{red}{I\cap J\triangleleft R}$。

1. $I\cup J\triangleleft R\iff I\subseteq J$ 或 $J\subseteq I$（理想的和，积为理想，但理想的并一般不一定为理想）；
2. 若有 $S\leq R$，则 $S\cap I\triangleleft R$，$S+I \leq R$，$S\cdot I \leq R$。

定义 2-7（由 $I$ 生成的理想）

对 $I\subseteq R$，含 $I$ 的 $R$ 的所有理想之交记为 $\langle I\rangle$，为 $I$ 生成的理想。

定义 2-8（单环）

环 $R$ 只有平凡理想，且至少含 $2$ 个元，称为单环。除环为单环；域为交换单环。

定义 2-9（有限生成理想）

若 $S$ 有有限基 $S=\{a_1,\dots,a_n\}$，则称 $\langle S\rangle$ 为有限生成理想。

命题 2-4

$$I+J=\langle I\cup J\rangle,\qquad IJ=\langle ab\mid a\in I,\ b\in J\rangle,$$

其中

$$IJ=\left\{\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\ \middle|\ a_i\in I,\ b_i\in J\right\}.$$

定理 2-1

含单位元的交换环 $R$ 为域 $\iff$ $R$ 只有平凡理想 $\iff$ $R$ 为单环。

3.3 环同态

定义 3-1（环同态）

$R$，$R'$ 为两个环，$f:R\to R'$，若 $f$ 保持运算，则称 $f$ 为 $R$ 到 $R'$ 的同态；若 $f$ 为一一对应，则称 $f$ 为同构。

命题 3-1

在同态 $f$ 下，子环的像仍为子环；若 $f$ 为满同态，则理想的像为理想。

定理 3-1（同态基本定理）

$f:R\to R'$ 为同态，$I=\ker f$，则 $I\triangleleft R$，且 $\exists!$ 同态 $\bar f:R/I\to R'$，s.t. $f=\bar f\circ\varphi$，其中 $\varphi$ 为 $R$ 到 $R/I$ 的自然同态。于是 $\bar f$ 为单同态。

推论 3-1　$R/\ker f\cong\operatorname{im}f$，且 $\bar f(\bar x)=f(x)$。

定理 3-2（对应定理）

$f:R\to R'$ 为满同态。

1. 若 $\ker f\subseteq K\subseteq R$，则存在唯一的子环 $L\le R'$ 与之对应（$K\mapsto f(K)$）；
2. 若 $\ker f\subseteq I\triangleleft R$，则存在唯一的理想 $J\triangleleft R'$ 与之对应（$I\mapsto f(I)$）；
3. 若 $\ker f\subseteq I\triangleleft R$，则 $f(I)=J$，因此 $R/I\cong R'/J$。

定理 3-3（第一同态定理）

$R$ 为环，$I\triangleleft R$，$\pi:R\to R/I$ 为自然同态。

1. 若 $I\subseteq K\subseteq R$，则存在唯一的子环 $L\le R/I$ 与之对应（$K\mapsto K/I$）；
2. 若 $I\subseteq K\triangleleft R$，则存在唯一的理想 $J\triangleleft R/I$ 与之对应（$K\mapsto K/I$）；
3. 若 $I\subseteq K\triangleleft R$，则 $\pi(K)=K/I$，也即 $K\mapsto K/I$，从而 $R/K\cong (R/I)/(K/I)$。

定理 3-4（第二同态定理）

$R$ 为环，$S\le R$，$I\triangleleft R$，则 $S\cap I\triangleleft S$，且 $(S+I)/I\cong S/(S\cap I)$。

3.4 分式域

$R$的分式域：在等价域$F$中，若$a\in R$，$b\in R-\{0\}$，在$F$上定义等价关系

$$\frac{a}{b}\sim\frac{c}{d}\iff ad=bc,$$

则$F/\sim$为$R$的分式域。

3.5 唯一分解整环

设$R$为整环。

定义 5-1

$a\in R$，若$a=bc$，则称$b$与$c$为$a$的因子，$b\mid a$，$c\mid a$。$a$为$b$的倍元；$0$的倍元只有$0$；$0$的因子集为$U(R)$。

定义 5-2

若$a\mid b$，$b\mid a$，则$\exists\varepsilon\in U(R)$，使$b=\varepsilon a$，称$a$与$b$相伴，记为$a\sim b$。相伴是等价关系，形成等价类；与$0$相伴的只有$0$，$\varepsilon$为相伴元（$\varepsilon\in U(R)$）。

定义 5-3

$a\in R$。单位及与$a$相伴的元素为$a$的平凡因子；其他非相伴因子（非平凡因子）称为真因子。从而非平凡因子为真因子，但真因子可能为单位。

命题 5-1

$a,b,c\in R$，若$a\neq0$，$a\mid bc$，则$b$、$c$中有一个为单位 $\iff$ $a$与$b$或$a$与$c$相伴。

定义 5-4

若$a\in R$，$a\neq0$，$a\notin U(R)$，且$a$的因子均为平凡因子，则称$a$为既约元。

定义 5-5

若$a\in R-\{U(R)-\{0\}\}$，满足$a\mid bc\Rightarrow a\mid b$或$a\mid c$，则称$a$为素元。

定理 5-1

素元必为既约元。

素元条件　$R$中每个既约元均为素元。

命题 5-2

与既约元（素元）相伴的元素仍为既约元（素元）。

定义 5-6

对$a,b\in R$，若$c\mid a$，$c\mid b$，则称$c$为$a,b$的公因子；$d$为$a,b$的最大公因子，若$d\mid a$，$d\mid b$，且$a,b$的任一公因子$c$均有$c\mid d$。

最大公因子　对$a,b\in R$，$(a,b)$表示$a,b$的最大公因子，且$(a,b)\mid a$，$(a,b)\mid b$。

命题 5-3

若$a,b\in R$，则$a,b$互素 $\iff$ $(a,b)$为单位（$u\in U(R)$）。

引理 5-1　若$R$适合最大公因子条件，则$R$适合一般最大公因子条件。

定理 5-2

最大公因子条件 $\iff$ 素性条件。

定义 5-7

设$R$为整环，若$R-\{0\}$中每个元素可写成正整数个既约元之积，且不计次序与相伴时唯一（个数相同），则称$R$为唯一分解整环。

引理 5-2　若$R$为唯一分解整环，则$R$适合因子链条件和最大公因子条件。

因子链条件　$R$为整环，若$R$中不存在无限严格上升的因子链，则称$R$适合因子链条件。

定理 5-3

$R$为整环，下列命题等价：

1. $R$为唯一分解整环；
2. $R$适合因子链条件和最大公因子条件；
3. $R$适合素性条件。

3.6 主理想整环 欧氏整环

定义 6-1

若$R$为整环，且$R$中每个理想均为主理想，则称$R$为主理想整环；即$R$中每个理想均为主理想（由单个元素生成）。

命题 6-1

PID为唯一分解整环；且PID中任二元$a,b$的最大公因子可写成$a,b$的倍元和。

定义 6-2

$R$为整环，若$\exists\,\delta:R\to\mathbb{N}$，使$\forall a,b\in R$，$b\neq0$，$\exists q,r\in R$，使$a=qb+r$，其中$r=0$或$\textcolor{red}{\delta(r)<\delta(b)}$，则称$R$为欧氏整环。

定理 6-1

域$\subset$欧氏整环$\subset$PID$\subset$唯一分解整环。

推论 6-1　欧氏整环中可用辗转相除法求两元素的最大公因子。

3.7 多项式环

理论可参考数域中多项式。

引理 7-1　设$R$为整环，则

(1) $\textcolor{red}{U(R[x])=U(R)}$；

(2) $R[x]$中零次既约元为$R$中的既约元。

引理 7-2　设$F$为域，则$F[x]$为欧氏整环，且有：

(1) $U(F[x])=U(F)=F-\{0\}$；

(2) 对$f,g\in F[x]$，$g\neq0$，$\exists q,r\in F[x]$，使$f=qg+r$，其中$r=0$或$\textcolor{red}{\deg r<\deg g}$；

(3) $f\in F[x]$，则$f$为$F[x]$既约元 $\iff$ $f$不能写成两个次数$<\deg f$的多项式之积。

定义 7-1（本原多项式）

设 $R$ 为唯一分解整环，若 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\in R[x]$ 满足：(1) $f(x)\neq 0$；(2) $a_0,a_1,\dots,a_n$ 的最大公因子为单位，则称 $f(x)$ 为本原多项式．

命题 7-1（本原多项式的积）

设 $R$ 为唯一分解整环，若 $f,g\in R[x]$ 均为本原多项式，则 $fg$ 为本原多项式．

命题 7-2（本原多项式的分解）

设 $R$ 为唯一分解整环，$F$ 为 $R$ 的分式域．对 $f(x)\in F[x]$，存在 $g\in F$ 及本原多项式 $h(x)\in R[x]$，使得 $f(x)=g\,h(x)$．又若 $f(x)=g_1h_1(x)$，其中 $h_1(x)\in R[x]$ 为本原多项式，则存在 $\varepsilon\in U(R)$，使得 $g=g_1\varepsilon$，$h(x)=\varepsilon^{-1}h_1(x)$．

命题 7-3

设 $f(x)\in R[x]$ 为本原多项式，则 $f(x)$ 在 $R[x]$ 中不可约 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $F[x]$ 中不可约．

定理 7-1

唯一分解整环 $R$ 上的 $R[x]$ 为唯一分解整环．

推论 7-1　$R[x_1,\dots,x_n]$ 为唯一分解整环．

3.8 理想

定义 8-1（极大理想）

设 $R$ 为环，$I\subsetneq R$ 且 $I\neq R$．若包含 $I$ 的（双边）理想只有 $I$ 与 $R$（即若 $J$ 为理想且 $I\subseteq J\subseteq R$，则 $J=I$ 或 $J=R$），则称 $I$ 为极大理想．

命题 8-1

设 $R$ 为环，$I\subseteq R$ 为理想，则 $I$ 为极大理想 $\Leftrightarrow$ $R/I$ 为单环．

定义 8-2（素理想）

设 $R$ 为环，$I\subseteq R$ 为理想且 $I\neq R$．若对任意 $a,b\in R$，由 $ab\in I$ 可推出 $a\in I$ 或 $b\in I$，则称 $I$ 为素理想．

命题 8-2

设 $R$ 为有单位元的交换环，$P\subseteq R$ 为理想，则 $P$ 为素理想 $\Leftrightarrow$ $R/P$ 为整环．特别地，有单位元的交换环中，极大理想必为素理想．

定理 8-1

设 $R$ 为 PID（主理想整环），对 $0\neq P\subseteq R$（非零理想），下列条件等价：

1. $P$ 为极大理想；
2. $P$ 为素理想；
3. $P$ 为 $R$ 的不可约元．

推论 8-1　设 $F$ 为域，$p(x)\in F[x]$ 不可约 $\Leftrightarrow$ $F[x]/(p(x))$ 为域．

定义 8-3（代数闭包）

设 $K/F$ 为域扩张，$K$ 为 $F$ 的代数闭包 $\Leftrightarrow$ $K$ 为代数闭域且 $K/F$ 为代数扩张．

定理 8-2

设 $F$ 为域，则存在域扩张 $L/F$，使得 $L$ 为代数闭域，且 $L$ 为 $F$ 的代数闭包．