数值分析初步 第 7 章 数值积分

Newton–Cotes 求积公式

对积分采用求积公式

$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\approx\sum_{j=0}^{n}A_{j,n}f(x_{j,n}),\qquad Q_n[f]=\sum_{k=0}^{n}w_k^{(n)}f_k.$

记

$I(f)=Q_n[f]+R_n[f],$

其中 $R_n[f]$ 为求积余项。若

$R_n[x^k]=0\quad(0\leq k\leq m),\qquad R_n[x^{m+1}]\ne0,$

则称求积公式具有 $m$ 次代数精度。

定理 7.1

形如 $Q_n[f]$ 的 $(n+1)$ 点求积公式具有至少 $n$ 次代数精度，当且仅当它是插值型求积公式。用插值多项式近似 $f(x)$，取 Lagrange 插值基函数 $l_k(x)$，则

$\color{red}{w_k^{(n)}=\int_a^b l_k(x)\,\mathrm{d}x,\qquad R_n[f]=\frac{1}{(n+1)!}\int_a^b f^{(n+1)}(\xi_x)\prod_{k=0}^{n}(x-x_k)\,\mathrm{d}x.}$

由此得到 Newton–Cotes 求积公式。梯形公式及其余项为

$$\color{red} \begin{aligned} Q_1[f]&=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr),\\ R_1[f]&=-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\eta),\qquad \eta\in(a,b). \end{aligned}$$

Simpson 公式（抛物线求积公式）及其余项为

$$\color{red} \begin{aligned} Q_2[f]&=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right],\\ R_2[f]&=-\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\eta),\qquad h=\frac{b-a}{2},\quad \eta\in(a,b). \end{aligned}$$

定义 7.1（收敛性）

记 $h=\max_{0\leq j<n}(x_{j+1}-x_j)$。若

$\color{red}{\lim_{h\to0}R_n[f]=0,}$

则称求积公式收敛。

定义 7.2（稳定性）

若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|f_j-\widetilde f_j|\leq\delta$ 时，有

$\color{red}{|Q_n[f]-Q_n[\widetilde f]|\leq\varepsilon,}$

则称求积公式稳定。

定理 7.3

若 $A_{j,n}>0$，则求积公式稳定。

复化求积公式与 Romberg 方法

设 $h=(b-a)/m$，$x_k=a+kh$。若在每个小区间 $[x_k,x_{k+1}]$ 上采用梯形公式，则有复化梯形公式

$$\color{red} \begin{aligned} Q_1^{(m)}[f]&=\frac h2\left(f_0+f_m+2\sum_{k=1}^{m-1}f_k\right),\\ R_1^{(m)}[f]&=-\frac{b-a}{12}h^2f''(\eta). \end{aligned}$$

若将区间 $2m$ 等分，在 $[x_{2j},x_{2j+2}]$ 上用 Simpson 公式，则有复化 Simpson 公式

$$\color{red} \begin{aligned} Q_2^{(2m)}[f]&=\frac h6\left(f_0+4\sum_{j=0}^{m-1}f_{2j+1}+2\sum_{j=1}^{m-1}f_{2j}+f_{2m}\right),\\ R_2^{(2m)}[f]&=-\frac{b-a}{180}h^4f^{(4)}(\eta). \end{aligned}$$

Romberg 求积公式由不同步长的复化求积公式外推得到。以步长 $h=(b-a)/m$ 的复化梯形公式 $Q_1^{(m)}[f]$ 与步长 $h/2=(b-a)/(2m)$ 的 $Q_1^{(2m)}[f]$ 为例，有

$\color{red}{Q_2^{(2m)}[f]=\frac{2^2Q_1^{(2m)}[f]-Q_1^{(m)}[f]}{2^2-1}.}$

进一步的复化 Cotes 公式与 Romberg 公式为

$$\color{red} \begin{aligned} Q_4^{(4m)}[f]&=\frac{2^4Q_2^{(4m)}[f]-Q_2^{(2m)}[f]}{2^4-1},\\ Q_8^{(8m)}[f]&=\frac{2^6Q_4^{(8m)}[f]-Q_4^{(4m)}[f]}{2^6-1}. \end{aligned}$$

相应的 Romberg 算法按步长逐级外推：

步长	梯形	Simpson	Cotes	Romberg
$h$	$Q_1^{(m)}$
$h/2$	$Q_1^{(2m)}$	$Q_2^{(2m)}$
$h/2^2$	$Q_1^{(4m)}$	$Q_2^{(4m)}$	$Q_4^{(4m)}$
$h/2^3$	$Q_1^{(8m)}$	$Q_2^{(8m)}$	$Q_4^{(8m)}$	$Q_8^{(8m)}$
$h/2^4$	$Q_1^{(16m)}$	$Q_2^{(16m)}$	$Q_4^{(16m)}$	$Q_8^{(16m)}$

Gauss 型求积公式

定理 7.3（Gauss 型求积）

在 $[a,b]$ 上选择节点 $x_0,\ldots,x_n$，使 $\sum_{j=0}^{n}w_jf(x_j)$ 具有 $2n+1$ 阶代数精度，其节点称为 Gauss 点，相应公式称为 Gauss 型求积公式。

定义 7.4

设 $\rho(x)>0$，$x\in[a,b]$，并令

$g_i(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_ix^i.$

若 $\{g_i(x)\}$ 满足

$$(g_j,g_k)=\int_a^b\rho(x)g_j(x)g_k(x)\,\mathrm{d}x=\begin{cases}0,&j\ne k,\\ c_k\ne0,&j=k,\end{cases}$$

则称 $g_0(x),\ldots,g_n(x)$ 为 $[a,b]$ 上带权函数 $\rho(x)$ 的正交多项式。

定理 7.4

$(n+1)$ 个节点 $x_0,\ldots,x_n$ 为 Gauss 点时，求积公式

$\color{red}{\int_a^b\rho(x)f(x)\,\mathrm{d}x\approx\sum_{k=0}^{n}w_k^{(n)}f(x_k)}$

具有 $2n+1$ 阶代数精度。Gauss 点的等价条件是节点多项式

$\color{red}{\pi_{n+1}(x)=\prod_{j=0}^{n}(x-x_j)}$

与一切次数不超过 $n$ 的多项式正交，即

$\color{red}{\int_a^b\rho(x)x^k\pi_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x=0,\qquad k=0,1,\ldots,n.}$