数值分析初步 第 1 章 绪论

机器数

在二进制浮点数系统中，机器数可表示为

$x=\pm 0.d_1d_2\cdots d_k\times 2^p,\qquad d_1=1,$ 其中

$d_i\in\{0,1\}\quad (i=2,3,\ldots,k),\qquad p\in\mathbb{Z},\qquad -m\le p\le M.$

记机器数的集合为

$S=S(k,m,M).$

当运算结果超出机器数的表示范围时，分别称为上溢出或下溢出。

误差

对于准确值 $x^*$，$x$ 是 $x^*$ 的一个近似值。

绝对误差

定义

$e^*=x^*-x,$ 称 $e^*$ 为 $x^*$ 的绝对误差。

绝对误差限

定义：若存在 $\varepsilon^*>0$，使得

$|e^*|=|x^*-x|\le\varepsilon^*,$ 则称 $\varepsilon^*$ 为 $x^*$ 的绝对误差限。

相对误差

定义 $x^*$ 的相对误差为

$e_r^*=\frac{x^*-x}{x^*}.$

相对误差也可用 $x^*$ 的近似值 $x$ 作为分母。

相对误差限

定义：$\varepsilon_r^*$ 为 $x^*$ 的相对误差限，此时有

$\frac{|x^*-x|}{|x^*|}\le\frac{\varepsilon^*}{|x^*|}=\varepsilon_r^*.$

有效数字

定义：若

$|e^*|=|x^*-x|\le \frac{1}{2}\times 10^{-n},$ 则称 $x$ 是 $x^*$ 精确到小数点后 $n$ 位的近似值。

若 $x^*=0.a_1a_2\cdots a_m\times 10^p$，$a_1\neq 0$，且满足下式：

$\color{red}{|x^*-x|\le\frac{1}{2}\times 10^{p-n},\qquad 1\le n\le m},$ 则称 $x$ 具有 $n$ 位有效数字。

定理（有效数字与相对误差）

若 $x$ 具有 $n$ 位有效数字，则其相对误差满足 $\color{red}{|e_r^*|\le \frac{1}{2|a_1|}\times 10^{-n+1}.}$ 反之，若 $\color{red}{|e_r^*|\le \frac{1}{2|a_1|}\times 10^{-n+1},}$ 则 $x$ 至少有 $n$ 位有效数字。