测度论 第 4 章 乘积可测空间上的测度与积分

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4.1 乘积可测空间

定义 4.1.1

设 $\Omega_1,\Omega_2$ 为两个集合，令

$$\Omega_1\times\Omega_2 =\{(\omega_1,\omega_2):\omega_i\in\Omega_i,\ i=1,2\}.$$

称 $\Omega_1\times\Omega_2$ 为 $\Omega_1$ 与 $\Omega_2$ 的乘积。 若 $(\Omega_1,\mathcal F_1)$ 与 $(\Omega_2,\mathcal F_2)$ 为可测空间，在 $\Omega_1\times\Omega_2$ 上定义

$$\mathcal F_1\otimes\mathcal F_2 =\sigma\bigl(\{A_1\times A_2:A_i\in\mathcal F_i,\ i=1,2\}\bigr).$$

称 $\mathcal F_1\otimes\mathcal F_2$ 为乘积 $\sigma$ 代数， $(\Omega_1\times\Omega_2,\mathcal F_1\otimes\mathcal F_2)$ 为乘积可测空间。

定义 4.1.2

设 $(\Omega_1,\mathcal F_1)$ 及 $(\Omega_2,\mathcal F_2)$ 为可测空间。对 $i=1,2$，令

$$\pi_i(\omega_1,\omega_2)=\omega_i.$$

称之为 $\Omega_1\times\Omega_2$ 到 $\Omega_i$ 的投影。

命题 4.1.3

对 $i=1,2$，$\pi_i:(\Omega_1\times\Omega_2,\mathcal F_1\otimes\mathcal F_2) \to(\Omega_i,\mathcal F_i)$ 为可测映射，且

$$\mathcal F_1\otimes\mathcal F_2 =\sigma\bigl(\pi_1^{-1}(\mathcal F_1)\cup\pi_2^{-1}(\mathcal F_2)\bigr).$$

因此，$\mathcal F_1\otimes\mathcal F_2$ 是使 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 成为可测映射的最小 $\sigma$ 代数。

定理 4.1.4

设 $(\Omega,\mathcal F)$、$(\Omega_1,\mathcal F_1)$ 及 $(\Omega_2,\mathcal F_2)$ 为可测空间， $f=(f_1,f_2)$ 为从 $\Omega$ 到 $\Omega_1\times\Omega_2$ 的映射。则

$$f\text{ 可测}\quad\Longleftrightarrow\quad f_1,f_2\text{ 可测}.$$

4.2 乘积测度与 Fubini 定理

设 $(X,\mathcal A,\mu)$ 与 $(Y,\mathcal B,\nu)$ 为两个 $\sigma$-有限测度空间。 将在 $(X\times Y,\mathcal A\otimes\mathcal B)$ 上定义的乘积测度 $\mu\times\nu$ 称为 $\mu$ 与 $\nu$ 的乘积。

对 $E\subseteq X\times Y$，定义

$$E^x=\{y\in Y:(x,y)\in E\},\qquad E_y=\{x\in X:(x,y)\in E\}.$$

称 $E^x$ 与 $E_y$ 为 $E$ 在 $x$ 与 $y$ 的截面。 对定义在 $X\times Y$ 上的实函数 $f$，其截面函数记为

$$f_x(y)=f(x,y),\qquad f^y(x)=f(x,y).$$

引理 4.2.2

设 $(X,\mathcal A)$、$(Y,\mathcal B)$ 为可测空间。

1. 若 $E\in\mathcal A\otimes\mathcal B$，则对任意 $x\in X$、$y\in Y$，有 $E^x\in\mathcal B$ 及 $E_y\in\mathcal A$；
2. 若 $f$ 在 $X\times Y$ 上 $\mathcal A\otimes\mathcal B$ 可测，则对任意 $x\in X$、$y\in Y$，$f_x$ 在 $Y$ 上 $\mathcal B$ 可测，$f^y$ 在 $X$ 上 $\mathcal A$ 可测。

引理 4.2.3

设 $(X,\mathcal A,\mu)$ 与 $(Y,\mathcal B,\nu)$ 为两个 $\sigma$-有限测度空间， $E\in\mathcal A\otimes\mathcal B$。则

1. $x\mapsto\nu(E^x)$ 为 $\mathcal A$ 可测；
2. $y\mapsto\mu(E_y)$ 为 $\mathcal B$ 可测。

定理 4.2.4

设 $(X,\mathcal A,\mu)$ 与 $(Y,\mathcal B,\nu)$ 为两个 $\sigma$-有限测度空间。 则存在 $\mathcal A\otimes\mathcal B$ 上的 $\sigma$-有限测度 $\mu\times\nu$，使得

$$(\mu\times\nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B), \qquad \forall A\in\mathcal A,\ B\in\mathcal B.$$

此外，对任意 $E\in\mathcal A\otimes\mathcal B$，有

$$(\mu\times\nu)(E) =\int_X\nu(E^x)\,d\mu(x) =\int_Y\mu(E_y)\,d\nu(y).$$

定理 4.2.5（Tonelli 定理）

设 $(X,\mathcal A,\mu)$ 与 $(Y,\mathcal B,\nu)$ 为两个 $\sigma$-有限测度空间， $f$ 为 $X\times Y$ 上非负的 $\mathcal A\otimes\mathcal B$ 可测函数。则

1. $x\mapsto\int_Y f_x\,d\nu$ 为 $\mathcal A$ 可测；
2. $y\mapsto\int_X f^y\,d\mu$ 为 $\mathcal B$ 可测；

且

$$\int_{X\times Y}f\,d(\mu\times\nu) =\int_X\left(\int_Y f_x\,d\nu\right)d\mu(x) =\int_Y\left(\int_X f^y\,d\mu\right)d\nu(y).$$

推论 4.2.6

在定理 4.2.5 的条件下，若 $f$ 非负可测，则

$$\mu\times\nu(f)=\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \int_X\nu(f_x)\,d\mu(x)=\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \int_Y\mu(f^y)\,d\nu(y)=\infty.$$

定理 4.2.7（Fubini 定理）

设 $(X,\mathcal A,\mu)$ 与 $(Y,\mathcal B,\nu)$ 为两个 $\sigma$-有限测度空间， $f$ 为 $X\times Y$ 上 $\mathcal A\otimes\mathcal B$ 可测函数。若 $f$ 关于 $\mu\times\nu$ 可积，则

1. 对 $\mu$-几乎处处的 $x$，$f_x$ 关于 $\nu$ 可积；对 $\nu$-几乎处处的 $y$， $f^y$ 关于 $\mu$ 可积；

2. 令

   $$F(x)= \begin{cases} \displaystyle\int_Yf_x\,d\nu, & f_x\text{ 关于 }\nu\text{ 可积},\\ 0, & \text{其他情形}, \end{cases} \qquad G(y)= \begin{cases} \displaystyle\int_Xf^y\,d\mu, & f^y\text{ 关于 }\mu\text{ 可积},\\ 0, & \text{其他情形}. \end{cases}$$

   则 $F$ 关于 $\mu$ 可积，$G$ 关于 $\nu$ 可积，且

   $$\int_{X\times Y}f\,d(\mu\times\nu) =\int_XF(x)\,d\mu(x) =\int_YG(y)\,d\nu(y).$$