测度论 第 2 章 可测映射

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2.1 定义及基本性质

定义 2.1.1

函数 $f:\Omega\to\overline{\mathbb R}$ 可测，当且仅当

$$\{\omega:f(\omega)>a\}\in\mathcal F\qquad(a\in\mathbb R).$$

命题 2.1.2

若 $f,g$ 可测，则 $f+g,fg,\max\{f,g\},\min\{f,g\}$ 均可测（在有定义处）。

定理 2.1.3

若 $f_n$ 均可测，则 $\sup_nf_n,\inf_nf_n,\limsup_nf_n,\liminf_nf_n$ 可测； 若 $f_n\to f$，则 $f$ 可测。

非负简单函数是可测集合指示函数的有限线性组合。对非负可测函数 $f$，存在 非负简单函数列 $f_n\uparrow f$。

命题 2.1.4

设 $f:(\Omega,\mathcal F)\to\overline{\mathbb R}$。下列条件等价：

1. $f$ 可测；
2. 对任意 $a\in\mathbb R$，$\{f<a\}\in\mathcal F$；
3. 对任意 $a\in\mathbb R$，$\{f\leqslant a\}\in\mathcal F$；
4. 对任意 $a\in\mathbb R$，$\{f>a\}\in\mathcal F$；
5. 对任意 $a\in\mathbb R$，$\{f\geqslant a\}\in\mathcal F$。

其中 $\{f<a\}=\{\omega:f(\omega)<a\}$。

命题 2.1.5

$(\Omega,\mathcal F)$ 上实值可测函数全体记为 $\mathcal R(\Omega)$。

命题 2.1.6

设 $f,g$ 及 $f_n\ (n\geqslant1)$ 都是 $(\Omega,\mathcal F)$ 上的可测函数， 则下列函数（在有定义处）仍可测：

$$fg,\qquad f\pm g,\qquad \frac{f}{g},\qquad \inf_n f_n,\quad\sup_n f_n,\quad \liminf_n f_n,\quad\limsup_n f_n,$$

以及集合 $\{f\leqslant g\}$ 的指示函数。

定义 2.1.7

若 $A\subseteq\Omega$，令

$$I_A(\omega)= \begin{cases} 1,&\omega\in A,\\ 0,&\omega\notin A. \end{cases}$$

称 $I_A$ 为 $A$ 的指示函数。设 $f:\Omega\to\mathbb R$ 的值域为有限集 $\{a_1,\ldots,a_n\}$，令 $A_i=f^{-1}(\{a_i\})\ (i=1,\ldots,n)$，则

$$\color{red}{f=\sum_{i=1}^{n}a_i I_{A_i}.}$$

若 $(\Omega,\mathcal F)$ 可测，则这样的 $f$ 可测当且仅当每个 $A_i\in\mathcal F$。

定理 2.1.8

设 $(\Omega,\mathcal F)$ 为可测空间，$f$ 为可测函数。则存在一列简单可测函数 $\{f_n\}_{n\geqslant1}$，使得

$$f_n\longrightarrow f,\qquad |f_n|\leqslant |f|\quad(n\geqslant1).$$

若 $f\geqslant0$，则可取 $f_n\geqslant0$ 且 $f_n\uparrow f$。

定理 2.1.9

设 $(\Omega,\mathcal F)$ 为可测空间，$\mathcal C$ 为一个 $\pi$ 类， $\mathcal H$ 为定义在 $\Omega$ 上的非负实值函数族。若 $\mathcal H$ 满足

1. $f,g\in\mathcal H$，$\alpha,\beta\geqslant0$，则 $\alpha f+\beta g\in\mathcal H$；
2. 若 $\{f_n\}_{n\geqslant1}\subseteq\mathcal H$，$f_n\uparrow f$，且 $f$ 有界，则 $f\in\mathcal H$；
3. $A\in\mathcal C$ 蕴含 $I_A\in\mathcal H$，

则 $\mathcal H$ 包含 $\Omega$ 上所有非负可测函数。

定义 2.1.10

设 $(E,\mathcal E)$ 为可测空间，$\mathcal H$ 为从 $\Omega$ 到 $E$ 的一族映射。令

$$\sigma(\mathcal H) =\sigma\bigl\{f^{-1}(C): f\in\mathcal H,\ C\in\mathcal E\bigr\}.$$

则 $\sigma(\mathcal H)$ 是使得 $\mathcal H$ 中每个函数均可测的、 $\Omega$ 上最小的 $\sigma$ 代数，称为 $\mathcal H$ 在 $\Omega$ 上生成的 $\sigma$ 代数。若 $(E,\mathcal E)=(\overline{\mathbb R}, \mathcal B(\overline{\mathbb R}))$，简记 $\sigma(\{f\})$ 为 $\sigma(f)$。

定理 2.1.11

设 $f:\Omega\to(E,\mathcal E)$ 为可测映射，令 $\sigma(f)$ 为 $f$ 在 $\Omega$ 上生成的 $\sigma$ 代数。则对 $\Omega$ 上函数 $h$，

$$h\text{ 关于 }\sigma(f)\text{ 可测} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{存在 }E\text{ 上的 }\mathcal E\text{-可测函数 }\varphi, \ h=\varphi\circ f.$$

2.2 等价类与可测函数的运算

定理 2.2.1

$\mathcal C$ 为 $\Omega$ 上的一个集类，$\mathcal H$ 为 $\Omega$ 上一类实值可测函数。 在下列条件下，$\mathcal H$ 包含由相应集类生成的所有可测函数：

1. $1\in\mathcal H$；
2. $f_n\in\mathcal H$，$n\geqslant1$，且 $0\leqslant f_n\uparrow f<\infty$ 时，$f\in\mathcal H$；
3. 对每个 $A\in\mathcal C$，$I_A\in\mathcal H$。

2.3 可测函数的几乎处处收敛

若某性质在 $\Omega$ 上除一个零测集 $N$（$\mu(N)=0$）外的每一点均成立， 则称它几乎处处（a.e.）成立。

定义 2.3.1

设 $\{f_n\}_{n\geqslant1}$ 与 $f$ 均为可测函数。

1. 若存在零测集 $N$，使对每个 $\omega\in N^c$ 有

$$\lim_{n\to\infty}f_n(\omega)=f(\omega),$$

则称 $\{f_n\}$ 几乎处处收敛于 $f$，记为 $f_n\xrightarrow{\mathrm{a.e.}}f$。 2. 若对任意 $\varepsilon>0$，存在可测集 $N_\varepsilon$， $\mu(N_\varepsilon)<\varepsilon$，使得 $f_n$ 在 $N_\varepsilon^c$ 上 一致收敛于 $f$，则称 $f_n$ 几乎一致收敛于 $f$，记为 $f_n\xrightarrow{\mathrm{a.u.}}f$。 3. 若对任意 $\varepsilon>0$，

$$\lim_{n\to\infty}\mu\bigl(\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\bigr)=0,$$

则称 $f_n$ 依测度收敛于 $f$，记为 $f_n\xrightarrow{\mu}f$。

定义 2.3.2

若 $\{f_n\}$ 为可测函数列，且当 $n,m\to\infty$ 时

$$f_n-f_m\xrightarrow{\mathrm{a.e.}}0,$$

则称 $\{f_n\}$ 为几乎处处 Cauchy 列。函数列 $\{f_n\}$ 几乎处处收敛， 当且仅当它为几乎处处 Cauchy 列。

定理 2.3.3

上述几乎处处收敛关系由去掉一个零测集后逐点收敛来刻画。

定理 2.3.4

设 $\{f_n\}_{n\geqslant1}$ 与 $f$ 为可测函数。

1. $f_n\xrightarrow{\mathrm{a.e.}}f$ 当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，

$$\lim_{n\to\infty}\mu\!\left( \bigcup_{i=n}^{\infty}\{|f_i-f|\geqslant\varepsilon\}\right)=0.$$

2. $f_n\xrightarrow{\mu}f$ 当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，

$$\lim_{n\to\infty}\mu\bigl(\{|f_n-f|\geqslant\varepsilon\}\bigr)=0.$$

3. $f_n\xrightarrow{\mu}f$ 当且仅当 $\{f_n\}$ 的每个子列都有一个子子列 $\{f_{n_{k_j}}\}$，使得

$$f_{n_{k_j}}\xrightarrow{\mathrm{a.e.}}f.$$

推论 2.3.5

1. $f_n\xrightarrow{\mathrm{a.u.}}f$ 蕴含 $f_n\xrightarrow{\mathrm{a.e.}}f$；在有限测度空间中， $f_n\xrightarrow{\mathrm{a.e.}}f$ 蕴含 $f_n\xrightarrow{\mu}f$。
2. 若 $\mu(\Omega)<\infty$，则

$$f_n\xrightarrow{\mathrm{a.e.}}f \quad\Longleftrightarrow\quad f_n\xrightarrow{\mathrm{a.u.}}f.$$

3. 若 $f_n\xrightarrow{\mu}f$，则存在子列 $\{f_{n_k}\}$，使得 $f_{n_k}\xrightarrow{\mathrm{a.e.}}f$。

注 2.3

推论 2.3.5(2) 给出著名的 Egoroff 定理。在有限测度空间中，依测度收敛亦可由 “任一子列都有几乎处处收敛于 $f$ 的子子列”来刻画。

定理 2.3.7

设 $g:\mathbb R^m\to\mathbb R$ 为连续函数， $\{f_n^{(i)}\}_{n\geqslant1}$ 与 $f^{(i)}$ 为可测函数，$1\leqslant i\leqslant m$。 若对每个 $i$ 有 $f_n^{(i)}\to f^{(i)}$，则复合函数列的收敛性保持：

1. 当各分量依测度收敛时，

$$g\bigl(f_n^{(1)},\ldots,f_n^{(m)}\bigr) \xrightarrow{\mu} g\bigl(f^{(1)},\ldots,f^{(m)}\bigr);$$

2. 当各分量几乎处处收敛时，

$$g\bigl(f_n^{(1)},\ldots,f_n^{(m)}\bigr) \xrightarrow{\mathrm{a.e.}} g\bigl(f^{(1)},\ldots,f^{(m)}\bigr).$$