高级数值分析 · 章节索引

本系列由手写笔记《高级数值分析》扫描件的 LaTeX 转录稿（ElegantBook 排版）改写为 MDX 博文。 原稿中红笔标出的重点，在网上以红色保留。

这份笔记覆盖数值分析里偏"进阶"的几块：函数逼近、数值积分、常微分方程数值解、 矩阵特征值与 Krylov 子空间方法、线性与非线性方程组的迭代法。

章节

章	标题	内容
第一章	函数逼近	最佳逼近、正交多项式（Legendre / Chebyshev）、最小二乘与最佳平方逼近、最佳一致逼近与 Chebyshev 交错定理、三角多项式逼近、深度神经网络与函数表示
第二章	数值积分	机械/插值型/Newton–Cotes 求积、Gauss 求积（Legendre、含权与奇异积分）、振荡积分与 Filon 型方法、高维数值积分
第三章	常微分方程数值解法	离散化与局部截断误差、一致性/稳定性/收敛性、Euler 与梯形法、Runge–Kutta 与 Butcher 表、线性多步法（Adams、BDF）、Dahlquist 等价定理、刚性问题、配点法与 Galerkin 方法
第四章	矩阵的特征值	幂法与正交迭代、QR 方法（位移、Hessenberg、隐式双重位移）、Krylov 子空间、Arnoldi 与 Lanczos 方法
第五章	线性方程组迭代法	最速下降法、共轭梯度法、MINRES、GMRES
第六章	非线性方程组迭代法	二分法、不动点迭代、Newton 法与割线法、拟 Newton 法、最小二乘法
第七章	复习题	全书复习题与解答（Legendre 多项式、线性无关性与范数、正交性与最佳逼近、数值积分与常微分方程、函数逼近补充）

编号约定

原稿用 ElegantBook 的 theorem / definition 环境，只有名称、没有编号 （如「正交多项式的三项递推」），正文里也没有交叉引用。

为便于在网页上指代，本站按章重新编号：

• 定理、定义各自在本章内从 1 起递增，形如 **定理 1.1**、**定义 4.3** （前一个数字是章号，后一个是该类条目在本章内的序号）
• 带名称的写成 **定理 1.5（Chebyshev 交错定理）**
• 复习题的题号沿用原稿的连续编号（1、2、3…），解答标为 **解**

这个编号是本站加的，原稿没有 —— 与原 PDF 对照时以标题名称为准。

符号约定

记号	含义
$\mathcal P_n$、$P_n$	次数不超过 $n$ 的多项式空间
$\langle f,g\rangle$	带权内积 $\displaystyle\int_a^b fg\rho\,\mathrm dx$
$\lVert\cdot\rVert_2$、$\lVert\cdot\rVert_\infty$	二范数与一致（极大值）范数
$E_n(f)$	$f$ 在 $P_n$ 中的最佳一致逼近误差
$T_n$	Chebyshev 多项式
$\mathcal K_k(A,v)$	由 $v,Av,\ldots,A^{k-1}v$ 张成的 Krylov 子空间
$\operatorname{cond}(X)$	矩阵条件数
$R^{(k)}$、$x^{(k)}$	第 $k$ 步的残量与迭代解

几条主线

• 逼近：正交多项式 → 最佳平方逼近（正规方程）→ 最佳一致逼近（Chebyshev 交错定理）
• 求积：Newton–Cotes（等距节点）→ Gauss 求积（正交多项式零点，代数精度最高）
• 常微分方程：单步法（Euler、Runge–Kutta）→ 多步法（Adams、BDF）→ 一致性 + 零稳定性 ⇔ 收敛性（Dahlquist）
• 特征值：幂法 → 正交迭代 → QR 迭代（位移加速、Hessenberg 降阶）→ Krylov 子空间（Arnoldi / Lanczos）
• 线性方程组：最速下降 → 共轭梯度（Krylov 子空间上的最优性）→ MINRES / GMRES
• 非线性方程组：不动点迭代 → Newton 法（局部二阶收敛）→ 割线法与拟 Newton 法