测度论 · 章节索引

本系列由手写笔记《测度论》扫描件的 LaTeX 转录稿（ElegantBook 排版）改写为 MDX 博文。 原稿中红笔标出的重点，在网上以红色保留。

这份笔记覆盖测度论的主干：从集类与测度出发，经可测函数、积分与 $L^p$ 空间， 到乘积可测空间与 Hausdorff 空间上的测度，最后是一批复习题与原稿中的反例。

章节

章	标题	内容
第一章	集类与测度	集合运算与集类、单调类定理、测度及其性质、外测度与可测集、可测函数
第二章	可测映射	可测性的等价刻画、函数生成的 $\sigma$ 代数、可测函数的运算、几乎处处收敛与依测度收敛
第三章	积分和空间 $L^p$	积分的定义与基本性质、积分号下取极限（单调收敛、Fatou、控制收敛）、不定积分与符号测度、Radon–Nikodym 定理、$L^p$ 及其对偶
第四章	乘积可测空间上的测度与积分	乘积 $\sigma$ 代数、投影与截面、乘积测度、Tonelli 定理与 Fubini 定理
第五章	Hausdorff 空间上的测度与积分	拓扑空间预备、连续函数与 Riesz 表示、正则测度与 Radon 测度
第六章	复习题	测度唯一性、Carathéodory 扩张、各种收敛方式、收敛定理与反例、符号测度分解、$L^p$ 对偶与完备化

编号约定

原笔记用三段式编号（如定义 1.1.8、定理 3.4.1），节内编号递增， 个别处编号有跳号（原稿如此）。本系列保留原编号，便于与手写原稿对照。

每条的标题形如：

命题 1.1.7

下面接正文。含名称的条目写成 **定理 3.2.4（Fatou 引理）**。

符号约定

记号	含义
$(\Omega,\mathcal F,\mu)$	测度空间，$\mathcal F$ 为 $\sigma$ 代数
$\mathcal P(\Omega)$	幂集
$\sigma(\mathcal C)$	由集类 $\mathcal C$ 生成的 $\sigma$ 代数
$\mu^*$	外测度
$\mathcal M(\mu^*)$	全体 $\mu^*$ 可测集
$\overline{\mathcal F}$	$\mathcal F$ 关于 $\mu$ 的完备化
$S^+$	非负可测函数全体
$\mathcal B(X)$	拓扑空间 $X$ 的 Borel $\sigma$ 代数
$\mathcal K(X)$	$X$ 的紧子集全体
$\mathbf 1_A$、$I_A$	集合 $A$ 的指示函数
$\nu_1\ll\nu_2$	$\nu_1$ 关于 $\nu_2$ 绝对连续
$\nu_1\perp\nu_2$	$\nu_1$ 与 $\nu_2$ 相互奇异
$f_n\xrightarrow{\mathrm{a.e.}}f$	几乎处处收敛
$f_n\xrightarrow{\mathrm{a.u.}}f$	几乎一致收敛
$f_n\xrightarrow{\mu}f$	依测度收敛
$f_n\rightharpoonup f$	弱收敛
$\operatorname{ba}(\Omega,\mathcal F)$	有界变差有限可加符号测度全体

几条主线

• 延拓链：半环上的前测度 → Carathéodory 扩张 → $\sigma(\mathcal S)$ 上的测度 → 完备化
• 唯一性：$\pi$ 类上有限测度相等 $\Rightarrow$ 在生成的 $\sigma$ 代数上相等（单调类定理）
• 积分：单调收敛定理 $\to$ Fatou 引理 $\to$ 控制收敛定理
• 分解：Hahn 分解 → Jordan 分解 → Lebesgue 分解（绝对连续部分 + 奇异部分）
• 对偶：$(L^p)^*\cong L^q$（$1<p<\infty$）；$L^1$ 的对偶在 $\sigma$ 有限时才是 $L^\infty$