普通物理（一）复习笔记

本文由手写笔记扫描件转录整理而来，公式以红色标出原稿中的红笔重点标记。

一、运动与力

位置与运动方程

位置（位矢）：

$$\begin{aligned} \vec{r} = \left|\vec{r}\right| &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \vec{r} &= x\,\hat{i} + y\,\hat{j} + z\,\hat{k} \end{aligned}$$

直角坐标系下的运动方程：

$$\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j} + z(t)\,\hat{k}$$

位移：

$$\Delta\vec{r} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = \Delta x\,\hat{i} + \Delta y\,\hat{j} + \Delta z\,\hat{k}, \qquad \left|\Delta\vec{r}\right| \le \Delta s$$

其中 $\Delta s$ 为路径长度。

速度与速率

平均速度与瞬时速度：

$$\begin{aligned} \vec{\bar v} &= \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} \\ \vec{v} &= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$$

平均速率与瞬时速率：

$$\begin{aligned} \bar v &= \frac{\Delta s}{\Delta t} \\ \text{一般地，有}\quad v &= \left|\vec{v}\right| = \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right| = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$$

速度的分量表示与大小：

$$\begin{aligned} \vec{v} &= v_x\,\hat{i} + v_y\,\hat{j} + v_z\,\hat{k} \\ \left|\vec{v}\right| &= v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \end{aligned}$$

加速度

平均加速度与瞬时加速度：

$$\begin{aligned} \vec{\bar a} &= \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} \\ \vec{a} &= \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} \qquad \text{指向曲线凹向} \end{aligned}$$

加速度的分量表示与大小：

$$\begin{aligned} \vec{a} &= a_x\,\hat{i} + a_y\,\hat{j} + a_z\,\hat{k} \\ \left|\vec{a}\right| &= a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \end{aligned}$$

自然坐标系

取切线方向单位矢量 $\vec{e}_\tau$ 与法线方向单位矢量 $\vec{e}_n$，加速度分解为：

$$\color{red}{\vec{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_\tau + \frac{v^2}{\rho}\,\vec{e}_n}$$

其中

$$\begin{aligned} \text{切向加速度}\quad a_\tau &= \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \\ \text{法向加速度}\quad a_n &= \frac{v^2}{\rho} \end{aligned}$$

圆周运动的角量描述

角位置、角位移 $\Delta\theta$、角速度与角加速度：

$$\begin{aligned} \omega &= \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ \alpha &= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$$

角量与线量的关系（半径 $R$）：

$$\begin{aligned} v &= R\,\omega \\ a_\tau &= R\,\alpha \\ a_n &= R\,\omega^2 = \frac{v^2}{R} \end{aligned}$$

牛顿运动定律与常见力

牛顿第二定律：

$$\vec{F} = m\vec{a}$$

动量：

$$\begin{aligned} \vec{p} &= m\vec{v} \\ \vec{F} &= \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = m\,\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} \end{aligned}$$

常见力：

$$\begin{aligned} \text{万有引力}\quad F &= G\frac{m_1 m_2}{r^2} \\ \text{弹性力}\quad \vec{F} &= -k\vec{x} \\ \text{摩擦力（动摩擦）}\quad f &= \mu N \end{aligned}$$

二、运动守恒量 守恒定律

质心与质心运动定理

质心：

$$\vec{r}_c = \frac{\int\vec{r}\,\mathrm{d}m}{m},\qquad \vec{v}_c = \frac{\sum m_i\vec{v}_i}{\sum m_i},\qquad \vec{a}_c = \frac{\sum m_i\vec{a}_i}{\sum m_i}$$

质心运动定理：

$$\sum\vec{F}_i = m\,\vec{a}_c$$

动量定理与动量守恒

动量定理：

$$\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,\mathrm{d}t = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$$

质心系中的动量定理：

$$\int_{t_1}^{t_2}\sum\vec{F}_i\,\mathrm{d}t = \sum m_i\vec{v}_i - \sum m_i\vec{v}_{i0}$$

动量守恒定律：若合外力为零，则系统动量不变：

$$\sum\vec{F}_i = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sum\vec{p}_i = \text{常量}$$

角动量、力矩与角动量守恒

角动量：

$$\color{red}{\boxed{\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}}}$$

力矩：

$$\color{red}{\boxed{\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}}}$$

角动量定理：

$$\color{red}{\boxed{\vec{M} = \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}}}$$

角动量守恒定律：若合力矩为零，则角动量不变：

$$\sum\vec{M}_i = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sum\vec{L}_i = \text{常量}$$

功、功率与动能定理

功：

$$\begin{aligned} A &= \vec{F}\cdot\Delta\vec{r} \\ A &= \int_a^b F\cos\theta\,\mathrm{d}s \end{aligned}$$

功率：

$$P = \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \vec{F}\cdot\vec{v}$$

动能定理：

$$\begin{aligned} E_k &= \frac{1}{2}mv^2 \\ A &= E_k - E_{k0} \end{aligned}$$

保守力：重力、弹力、引力（保守力做功与路径无关）。

势能

保守力做功等于势能增量的负值：

$$A_c = -\Delta E_p$$

常见势能：

$$\begin{aligned} \text{重力势能}\quad E_p &= mgh \\ \text{弹性势能}\quad E_p &= \frac{1}{2}kx^2 \\ \text{引力势能}\quad E_p &= -G\frac{m_1 m_2}{r} \end{aligned}$$

功能原理与机械能守恒

质点系动能定理：

$$A_{\text{外}} + A_{\text{内非}} = \Delta E_k$$

质点系功能原理：

$$A_{\text{外}} + A_{\text{内非}} = \Delta E_{\text{机}} = \Delta E_k + \Delta E_p$$

机械能守恒定律：若只有保守力做功，则机械能不变：

$$\Delta E_{\text{机}} = 0$$

碰撞

碰撞的恢复系数：

$$e = \frac{v_2 - v_1}{v_{10} - v_{20}},\qquad \Delta E = \frac{1}{2}(1-e^2)\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\left(v_{10}-v_{20}\right)^2$$

完全弹性碰撞 $e=1$，完全非弹性碰撞 $e=0$。

碰后速度（$e$ 为恢复系数）：

$$\begin{aligned} v_1 &= v_{10} - \frac{(1+e)m_2(v_{10}-v_{20})}{m_1+m_2} = \frac{(m_1-e\,m_2)v_{10} + (1+e)m_2 v_{20}}{m_1+m_2} \\ v_2 &= v_{20} + \frac{(1+e)m_1(v_{10}-v_{20})}{m_1+m_2} = \frac{(m_2-e\,m_1)v_{20} + (1+e)m_1 v_{10}}{m_1+m_2} \end{aligned}$$

三、刚体运动

力矩与角动量

力矩：

$$\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}$$

角动量：

$$\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$$

刚体定轴转动

定轴转动的转动定律：

$$\color{red}{\boxed{\vec{M} = J\vec{\alpha} = J\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}}}$$

转动惯量：

$$J = \int r^2\,\mathrm{d}m$$

常见刚体的转动惯量：

$$\color{red}{\begin{aligned} \text{圆盘}\quad J &= \frac{1}{2}mR^2 \\ \text{细棒（过中心垂直轴）}\quad J &= \frac{1}{12}ml^2 \\ \text{细棒（过端点垂直轴）}\quad J &= \frac{1}{3}ml^2 \\ \text{球体（过直径）}\quad J &= \frac{2}{5}mR^2 \\ \text{圆环}\quad J &= mR^2 \end{aligned}}$$

转动动能与动能定理

力矩的功：

$$\color{red}{A = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sum M\,\mathrm{d}\theta}$$

刚体定轴转动的动能：

$$\color{red}{E_k = \frac{1}{2}J\omega^2}$$

刚体定轴转动的动能定理：

$$\color{red}{A = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sum M\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}J\omega_2^2 - \frac{1}{2}J\omega_1^2}$$

刚体的重力势能：

$$E_p = mgh_c$$

刚体转动的角动量与守恒

刚体转动的角动量：

$$\color{red}{\vec{L} = J\vec{\omega}}$$

刚体转动的角动量定理：

$$\color{red}{\int_{t_1}^{t_2}\sum\vec{M}\,\mathrm{d}t = J\vec{\omega}_2 - (J\vec{\omega})_0}$$

刚体转动的角动量守恒：若合力矩为零，则 $J\vec{\omega}$ 不变：

$$\color{red}{\sum\vec{M} = 0 \quad\Longrightarrow\quad J\vec{\omega} = \text{常量}}$$

四、相对论基础

相对性原理与洛伦兹变换

相对性原理；光速不变原理。

洛伦兹变换（设 $u$ 为参考系相对运动速度，$\beta = u/c$）：

$$\color{red}{\boxed{ x' = \frac{x-ut}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad t' = \frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad v_x' = \frac{v_x-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x} }}$$

同时的相对性与时空效应

同时的相对性：

$$t_2' - t_1' = \frac{\frac{u}{c^2}(x_1-x_2)}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

时间延缓：

$$t = \frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

长度收缩：

$$L' = L_0\sqrt{1-\beta^2}$$

质能关系

质能方程：

$$\begin{aligned} E &= mc^2 \\ E_0 &= m_0c^2 \end{aligned}$$

相对论质量：

$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

相对论能量与动量关系：

$$\color{red}{\boxed{E^2 = c^2p^2 + m_0^2c^4}}$$

五、气体动理论

理想气体物态方程与压强

理想气体物态方程：

$$\color{red}{\boxed{pV = \frac{m}{M}RT}}$$

理想气体压强公式（$n$ 为单位体积分子数，$\bar\varepsilon_k$ 为一个分子的平均平动动能）：

$$\color{red}{p = \frac{1}{3}nm\bar v^2 = \frac{2}{3}n\bar\varepsilon_k}$$

其中：

$$\color{red}{n = \frac{N}{V}},\qquad \color{red}{p = nkT}$$

玻尔兹曼常量：

$$\color{red}{k = \frac{R}{N_A}}$$

由此得温度与分子平均平动动能的关系：

$$\color{red}{\bar\varepsilon_k = \frac{1}{2}m_0\bar v^2 = \frac{3}{2}kT}$$

方均根速率（$m_0$ 为单个分子质量）：

$$\color{red}{\boxed{\sqrt{\bar v^2} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}}}$$

能量均分定理

分子自由度：单原子 $i=3$，双原子 $i=5$，多原子 $i=6$。

每个分子的平均动能：

$$\bar\varepsilon_k = \frac{i}{2}kT$$

理想气体的内能：

$$\color{red}{E = \frac{m}{M}\frac{i}{2}RT}$$

麦克斯韦速率分布律

速率分布函数与分布律：

$$\begin{aligned} f(v) &= \frac{\mathrm{d}N}{N\,\mathrm{d}v} \\ \color{red}{f(v)} &= \color{red}{4\pi\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2\exp\!\left(-\frac{m_0 v^2}{2kT}\right)} \end{aligned}$$

平均速率：

$$\bar v = \int_0^\infty v\,f(v)\,\mathrm{d}v = \color{red}{\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}}$$

方均根速率：

$$\sqrt{\bar v^2} = \int_0^\infty v^2 f(v)\,\mathrm{d}v = \color{red}{\sqrt{\frac{3RT}{M}}}$$

最概然速率：

$$\color{red}{\boxed{v_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}}}$$

分子的平均自由程（$d$ 为分子有效直径）：

$$\color{red}{\bar\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n} = \frac{kT}{\sqrt{2}\,\pi d^2 p}}$$

若令 $\dfrac{m_0}{2kT}=b$，则

$$f(v) = 4\pi\left(\frac{b}{\pi}\right)^{3/2}v^2 e^{-bv^2}$$

六、热力学基础

热力学第一定律

功：

$$\mathrm{d}A = p\,\mathrm{d}V$$

热力学第一定律（$A$ 为系统对外做功）：

$$\color{red}{\begin{aligned} Q &= A + \Delta E \\ Q &= E_2 - E_1 + \int_{V_1}^{V_2}p\,\mathrm{d}V \end{aligned}}$$

等值过程与摩尔热容

等体过程（$V$ 不变），$Q_V = E_2 - E_1$，摩尔定容热容 $C_{V,m}$：

$$\begin{aligned} \delta Q_V &= \frac{m}{M}C_{V,m}\,\mathrm{d}T,\qquad \color{red}{\mathrm{d}E = \frac{m}{M}C_{V,m}\,\mathrm{d}T} \\ \color{red}{C_{V,m}} &= \color{red}{\frac{i}{2}R} \end{aligned}$$

等压过程（$p$ 不变）：$A = p(V_2-V_1) = \dfrac{m}{M}R(T_2-T_1)$，摩尔定压热容 $C_{p,m}$：

$$\begin{aligned} \delta Q_p &= E_2-E_1+\frac{m}{M}R(T_2-T_1),\qquad \delta Q_p = \frac{m}{M}C_{p,m}\,\mathrm{d}T \\ \color{red}{C_{p,m}} &= \color{red}{C_{V,m}+R = \frac{i+2}{2}R} \end{aligned}$$

摩尔热容比：

$$\color{red}{\gamma = \frac{C_{p,m}}{C_{V,m}} = \frac{i+2}{i}}$$

等温过程（$T$ 不变）：$p_1V_1=p_2V_2$，

$$\begin{aligned} Q_T = A &= \int_{V_1}^{V_2}p\,\mathrm{d}V = \int_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1}{V}\,\mathrm{d}V = p_1V_1\ln\frac{V_2}{V_1} = \frac{m}{M}RT\ln\frac{V_2}{V_1} \\ &= \color{red}{\frac{m}{M}RT\ln\frac{p_1}{p_2}} \end{aligned}$$

绝热过程（$\mathrm{d}Q=0$）：$A = -\dfrac{m}{M}C_{V,m}(T_2-T_1)$，绝热方程：

$$\color{red}{pV^{\gamma} = C;\qquad VT^{\gamma-1} = C;\qquad p^{\gamma-1}T^{-\gamma} = C}$$

循环过程与热机

循环过程：

$$\Delta E = 0,\qquad Q = A$$

热机效率：

$$\color{red}{\eta = \frac{A}{Q_{\text{吸}}} = \frac{Q_{\text{吸}}-Q_{\text{放}}}{Q_{\text{吸}}} = 1-\frac{Q_{\text{放}}}{Q_{\text{吸}}}}$$

制冷机的制冷系数：

$$w = \frac{Q_{\text{吸}}}{A}$$

卡诺循环：

$$\color{red}{\eta_c = 1-\frac{Q_2}{Q_1} = 1-\frac{T_2}{T_1}},\qquad \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$$

热力学第二定律与熵

热力学第二定律：开尔文表述、克劳修斯表述；可逆过程与不可逆过程。

卡诺定理：

$$\color{red}{\eta \le 1-\frac{T_2}{T_1}}$$

熵与熵增原理：

$$\color{red}{\Delta S = \left(\frac{\delta Q}{T}\right)_{\text{可逆}}}$$

熵的统计意义（玻尔兹曼熵）：

$$S = k\ln W$$

等温膨胀的熵变：

$$\Delta S = \frac{m}{M}R\ln\frac{V_2}{V_1} = \frac{Q}{T}$$